UFMG - Calcular o ângulo DPQ

UFMG - Sejam ABCD um quadrado, ABP um triângulo equilátero interior e BCQ um triângulo equilátero exterior. Calcule o ângulo D^PQ.

Resp.: D^PQ = 180°

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OlÁ Thvilaça,

Vamos mostrar que o ângulo D^PQ mede 180º.

Na Figura, anote todos os ângulos de 60º ( dos triângulos equiláteros APB e BCQ), e todos os ângulos de 90º do quadrado ABCD.

Veja que o triângulo DCQ é isósceles lado do quadrado igual ao lado do triângulo com isso os ângulos da base medem (180-150)/2= 15º.

Agora vamos chamar de x , P e y os ângulos que formam o ângulo D^PQ.

No triângulo ADP o ângulo x mede 180-(75 +30) = 75º
Veja que o ângulo P mede 60º( do triângulo equilátero APB) , então nos falta o ângulo y.

Veja o triângulo PBQ também é isósceles com ângulos da base = (180- 90)/2= 45º , então y = 45º

Finalmente ângulo DPQ = 75+60+45=180º

att Raimundo

Olá, Raimundo Pereira, obrigado pela ajuda, pelo jeito era só identificar os triângulos isósceles, não é mesmo ?

Só uma pequena falha, no começo, vc acabou considerando DCQ como triângulo isósceles, mas não sabíamos que ele era o triângulo, pois não conhecíamos o ângulo DPQ, mas acho que foi uma distração, pois depois vc colocou a resolução de forma certa. Obrigado e até !

raimundo pereira escreveu:OlÁ Thvilaça,

Veja que o triângulo DCQ é isósceles lado do quadrado igual ao lado do triângulo com isso os ângulos da base medem (180-150)/2= 15º.

Thvilaça

O triângulo DCQ é isósceles porque, pelo enunciado, CD = CQ

Olá Thvilaça,

Na verdade , BCQ é um triângulo equilátero de base BC igual ao lado do quadrado ABCD, e embora você não tenha provado que o ângulo DPQ é um ângulo raso(180º) , você tem o segmento de reta DQ formando o triângulo isósceles DCQ. Na minha opinião o problema está mal formulado , o que deveria ser pedido é: prove que o ângulo DPQ é um ângulo raso.

att Raimundo

Bom, acho que a resolução acima não provou nada, pois ela parte do principio de que a reta DQ passa por P. Na verdade, o exercício diz que DP e PQ são retas, mas não temos a certeza de que DQ é.
Precisamos, portanto, ver primeiramente se P passa por DQ. Se sim, o ângulo é 180º pelo simples fato de DQC ser triangulo.
Para resolver isso, fiz assim:
Imaginei que o lado do quadrado fosse 4, assim como o dos dois triângulos equiláteros.

A mediana em um triângulo equilátero é também altura, portanto a altura que passa por P divide o lado em dois seguimentos de 2. Usando pitágoras encontra-se que a altura vale raiz12.
Bom, devemos ver se se o ponto P está contido na reta DQ. Para isso, vamos imaginar um plano cartesiano e ver a equação da reta DQ.
Como DQ passa pela origem (0,0), b = 0
y = ax
quando x é 4 + raiz12 , y é 2 (2 = metade do lado de um triangulo), portanto



eq. da reta:

O ponto P é(2;4 - raiz12), vamos conferir se dá certo:





Pelo simples fato de P pertencer a reta DQ, o angulo DPQ é igual a 180º.

Resposta errada!

É porque a figura não afirma que o ponto P passa pela reta DQ... colocando num programa de computador dá pra ver que passa, por isso o ângulo é 180º... os argumentos que vocês estão usando já consideram que P contém em DQ e disso não se tem certeza.

Olá Thvilaça,

Aí você bastante teorias para à sua conclusão. Ao meu ver o problemas resume-se a identificar que os lados dos triângulos equiláteros são iguais ao lado do quadrado , o resto é só contas. Para mim o assunto termina aqui. Abraço

Raimundo

Tá certo Raimundo, é isso aí !

Obrigado a todos pela contribuição, multiplas possibilidades de resolução para um mesmo problema, é por isso que eu gosto da matemática, rsrs

Ah Diegomedbh, o seu erro está exatamente no que eu tinha dito antes e no que o ramonss reafirmou: Não podemos afirmar inicialmente que DCQ é triângulo, pois ainda não sabemos que P é raso. Mas obrigado mesmo assim.