Paralelogramo

Sejam ABCD um paralelogramo e M e N, respectivamente, os pontos médios de . Prove que os segmentos cortam a diagonal , dividindo-a em três partes congruentes.

Sejam ABCD um retângulo com AB = CD = a, AD = BC = b

Colocando o vértice A na origem de um sistema xOy, com AB no eixo X:

A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b), M(a/2, b), N(a, b/2)

Equação da reta AM -----> y = [b/(a/2)]*x -----> y = 2bx/a ----> I

Equação da reta AN -----> y = [(b/2)/a]*x -----> y = bx/2a ----> II

Equação da diagonal BD ----> y - b = (-b/a)*(x - 0) ----> y = - bx/a + b

Sejam P e Q os pontos de encontro das retas AM e AN co a diagonal BD:

2*b*xP/a = - b*xP/a + b -----> 3*b*xP/a = b ----- > xP = a/3 ----> yP = b/3

b*xQ/2a = - b*xP/a + b ----> 3*b*xQ/2a = b -----> xQ = 2a/3 -----> yP = 2b/3

Logo, no retângulo a diagonal BD foi secionado em 2 partes iguais pelas retas AM e AN

Agora é fácil: incline os dois lados menores do retângulo de um ângulo θ qualquer, no mesmo sentido e você obterá um paralelogramo com a mesma propriedade