Análise Matemática derivada

a) Use a definição de derivada para calcular as derivadas de:
i) f(x)=x^2+3x, xo = 1
Desde já agradeço.

f(x) = x² + 3x

f'(x) = lim[∆x->0] {[f(x+∆x) - f(x)]/∆x} = lim[∆x->0] {[(x+∆x)²+3(x+∆x) - x² - 3x]/∆x}

f'(x) = lim[∆x->0] {[x² + 2x∆x + (∆x)² + 3x + 3∆x - x² - 3x]/∆x}

f'(x) = lim[∆x->0] {∆x[∆x + 2x + 3]/∆x} = lim[∆x->0] (2x + 3 + ∆x) = 2x + 3

x₀ = 1

f'(x₀) = 2*1 + 3 = 5

ina escreveu:

Medeiros escreveu:f(x) = x² + 3x

f'(x) = lim[∆x->0] {[f(x+∆x) - f(x)]/∆x} = lim[∆x->0] {[(x+∆x)²+3(x+∆x) - x² - 3x]/∆x}

f'(x) = lim[∆x->0] {[x² + 2x∆x + (∆x)² + 3x + 3∆x - x² - 3x]/∆x}

f'(x) = lim[∆x->0] {∆x[∆x + 2x + 3]/∆x} = lim[∆x->0] (2x + 3 + ∆x) = 2x + 3

x₀ = 1

f'(x₀) = 2*1 + 3 = 5

quote="Medeiros"] Por favor ajude-me a responder o resta daquestão a e depois a letra b
a) Use a definição de derivada para calcular as derivadas de:
i) f(x)=x^2+3x, xo = 1 ii) f(x)=1/x.. ,x0 = 2

b) A função f(x) =
x^2 +1 , se x < 2

4 ; se x = 2 pode ser derivável em xo=2? Por que sim, ou por que não?

-x +7 , se x > 2

Desde já agradeço muito.

Minha cara Ina,
O "resto" da questão apareceu somente agora, depois de eu ter resolvido a questão originalmente apresentada. Segue lá:



item b) Não sei se entendi direito o quê você quer nessa questão. De qualquer forma, vou responde à única pergunta feita: f(x) pode ser derivável em x=2?

Não. Para x=2, f(x)=4, ou seja, a função resume-se ao ponto (2,4). Não se define derivada de um ponto. (não confundir com "derivada no ponto"). Um ponto não tem limite nem à esquerda nem à direita. Você pode ver isso matematicamente se aplicar a fórmula (apontada pela seta "teoria").
f(x) = 4
f'(x) = lim[∆x->0]{[f(x+∆x) - f(x)]/∆x} ,
mas neste caso, como só exite o ponto (a função é apenas um ponto), ∆x=0 e ficamos com divisão por zero, o que não se define. Lembre-se que ∆x, por menor que seja, tem que existir, ser diferente de zero.

Suponha que o exercício fosse alterado para
f(x) = x²+1 ..... p/ x<2
......= 5 ......... p/ x=2
......= -x+7 .... p/ x>2
Neste caso, olhando no gráfico percebemos que a função não tem interrupções. Mas o gráfico faz um "bico" no ponto x=2. Por este motivo, a função também não teria derivada no ponto x=2. Lembrar que a derivada de uma função, num determinado ponto, significa a declividade da reta tangente à função nesse ponto. Ora, num "bico" (ou "fim de linha") não temos como traçar a tangente.

Bom, tentei dar uma visão gráfica. Espero que ajude.