Coordenadas do 3º vértice.

por Herowd Dom 01 Abr 2012, 14:50

Determine as coordenadas do 3º vértice de um triângulo equilátero, sabendo que os outros dois têm coordenadas (1,2) e (1,7).

Fiz assim:

A(1,2), B(1,7) e C(x,y)

Como o triângulo é equilátero, todos os lados são iguais. Então calculei a ordenada do ponto C:

d(A,C) = d(B,C)

$\sqrt{(x - 1)^2 +( y - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 7)^2} =\; y\; = 9/2$

Ficando: A(1,2) B(1,7) e C(x,9/2).

Duvida: Como calculo a abscissa do ponto C? O modo que eu fiz, foi assim:

d(A,B) = d(A,C)

$5 = \sqrt{25/4 + (x - 1)^2} = \\ 5^2 = (\sqrt{25/4 + ( x - 1)^2})^2 = \\ 25 = 25/4 + (x - 1)^2 = \\ 25 - 25/4 = (x - 1)^2 = \\ \sqrt{75/4} = \sqrt{(x-1)^2}=\\ 2\sqrt{5^2 \times 3} = x - 1 = \\ x = 1 + 10\sqrt{3}$

Porém no livro a resposta é C(1 ± 5/2√3 , 9/2). Então acredito que tenho errado em algum passo ou na matemática básica. Desde já, obrigado.

por **Rafael Ibatexano** Dom 01 Abr 2012, 16:19

Fórmula que você usou é a fórmula que da a distância de um ponto ao outro.Você conseguiu achar a ordenada correta porque o ponto AB tem a mesma abscissa e o triângulo é equilátero,se fosse diferente talvez não conseguiria.Nesse caso nem precisaria usar essa formula para achar a ordenada de C apenas perceba que ela é metade da distância AB,divida e some por dois,dára algo em torno de 4,5 ou 9/2.
Você devera usar a fórmula da distância para achar x.
Por exemplo:
d(A,B)=d(A,C)
O que te interessa aí é o valor da distância AB,tendo isso e as coordenadas do ponto A e a ordenada do ponto C,você monta sua equação.Você recaíra numa equação de segundo grau,por isso o valor 1 ± 5/2√3.

Fiz de cabeça e desenhando aqui no papel.Tenta fazer para gente ver se é mesmo. Razz

por Herowd Dom 01 Abr 2012, 18:33

Com d(A,B) = d(A,C) eu chego em x² - 2x + 1/4 = 0, mas acredito que não seja isso.
d(A,B) = d(A,C)
√(Xb - Xa)² + (Yb - Ya) = √(Xc - Xa) + (Yc - Ya) =
√(1 - 1)² + ( 7 - 2)² = √(x - 1)² + (9/2 - 2)² =
5² = (x - 1)² + (9/2 - 2)² =
25 = x² - 2x + 1 + 81/4 + 4
x² - 2x + 1/4 = 0

por **Rafael Ibatexano** Dom 01 Abr 2012, 18:54

Herowd escreveu: x² - 2x + 1/4 = 0

Nos meus cálculos chego na seguinte equação :
x² - 2x -71/4=0
que da raízes (2± 5/2√3 )

O gabarito está correto?

por Herowd Dom 01 Abr 2012, 19:03

Pois é, no livro mostra C(1 ± 5/2√3 , 9/2), tenho que confirmar com o professor essa semana. O estranho também é que você chegou em x² - 2x -71/4 = 0, vou rever onde errei aqui. Obrigado mesmo assim.