Associação de raízes racionais

por Violeiro Sex 23 Mar 2012, 23:31

Associe as equações com suas possíveis raízes racionais.

$\large \dpi{100} 1)\ \ x^4-6x^2+2=0\ \ \ \ \\\\2)\ \ 2x^4-6x^3+5x^2+2x=0\\\\3)\ \ x^3-6x^2+5x+1=0$

$\large \dpi{100} a)\ \ \left \{ 0 \right \} \\\\ b)\ \left \{ -1,1 \right \}\\\\ c)\ \left \{ -1, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right \}\\\\ d)\ \left \{ -2, 2, -1, 1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right \}\\\\ e)\ \ \left \{ -2, 2, 1, -1 \right \}$

por Violeiro Sáb 24 Mar 2012, 00:54

1) ===> e

2) ===> a

3) ===> b

Seria isso?

cheers

por **Adam Zunoeta** Sáb 24 Mar 2012, 06:37

1) Não tem raízes racionais ---> Confere a expressão

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4-6x%5E2%2B2%3D0

Podemos achar as raízes fazendo:

y=x² ----> y²-6y+2=0 ---> Depois de resolver em "y" voltar em "x".

2)

Podemos colocar o "x", em evidência:

x*(2x³-6x²+5x+2)=0

x=0 ---> Raiz real

2x³-6x²+5x+2=0 ----> Raiz complexa

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E3-6x%5E2%2B5x%2B2%3D0

3) Não tem raízes racionais ---> Confere a expressão

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-6x%5E2%2B5x%2B1%3D0

por Violeiro Sáb 24 Mar 2012, 11:44

Olá Adam.

Mas elas podem ser as possíveis raízes racionais, não pode?

Na equação polinomial $\large \dpi{100} a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, \ \ (a\neq 0)$ com coeficientes inteiros, admite uma raiz racional $\large \dpi{100} \frac{p}{q}\ \ em\ que\ \ p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z}\ e\ p\ e \ q$ são primos entre si, então p é divisor de $\large \dpi{100} a_0$ e q é divisor de $\large \dpi{100} a_n$ .

é isso que qria saber...

cheers

por **Agente Esteves** Sáb 24 Mar 2012, 12:09

Sim, sim, Violeiro, essa sua relação está correta. Numa expressão, os possíveis números reais que podem ser raízes dessa expressão são indicados pela divisão entre os divisores do coeficiente independente e os divisores do coeficiente de maior grau.

Assim...

I) x^4 - 6x² + 2 = 0
Divisores de 2: -2, -1, 1, 2
Divisores de 1: -1, 1
Então os possíveis números racionais que podem ser raízes são:
{(-2)/(-1), (-2)/1, (-1)/(-1), (-1)/1, 1/(-1), 1/1, 2/(-1), 2/1}
ou seja...
{-2, -1, 1, 2} (Essa é a letra E.)

II) 2x^4 - 6x³ + 5x² + 2x = 0
O coeficiente independente é zero. Logo, a única raiz racional existente é 0. Essa é a letra A.

III) x³ - 6x² + 5x + 1 = 0
Divisores de 1: -1, 1
Como ambos os coeficientes são iguais, basta fazer quatro divisões.
{(-1)/(-1), (-1)/1, 1/(-1), 1/1}
ou seja...
{-1, 1} (Essa é a letra B.)

Espero ter ajudado, Violeiro. =]