AFA-2001 Trigonometria

A dúvida não é bem na parte de trigonometria, mas vou postar a questão inteira:

Os valores de m pertencentes a R para os quais a equação sqrt(2)(senx-cosx) = m² -2 admite soluções são:
Gabarito: -2=< m =< 2


Eu havia dividido ambos lados por dois, transformando a equação em sen(45-x) = (m²-2)/2
Logo (m²-2)/2 tem valores máximos 1 e -1

m²-2>= -2
m² >= 0
m >= 0

e

m²-2 <= 2
m² <= 4
m está entre -2 e 2

para atender ambas exigências m teria que estar entre 0 e 2, porém o gabarito diz que é -2 e 2.

Acho que é meio idiota a pergunta, mas sempre tive um pouco de dúvida nessa parte de desigualdades. Haha

sqrt(2)(sen(x)-cos(x))=m²-2
(sqrt(2)/2)(sen(x)-cos(x))=(m²-2)/2
sen(x).cos(45)-sen(45).cos(x)=(m²-2)/2
sen(x-45)=(m²-2)/2

Como a função seno está definida somente no intervalo [-1 ; 1]
temos:
-1≤sen(x-45)≤1
-1≤(m²-2)/2≤1

(m²-2)/2≥-1
(m²-2)/2+1≥0
(m²-2+2)/2≥0
m²/2≥0
m²≥0
A solução desta equação é toda a reta dos reais (x E R).

(m²-2)/2≤1
(m²-2)/2-1≤0
(m²-2-2)/2≤0
m²-4≤0
-2≤m≤2

Logo, para atender todos os requisitos, fica:
-2≤m≤2

Espero que seja isso e que te ajude.