Números Naturais de 1 a 100.

Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive, podem ser escritos na forma de potência a^b, com a e b naturais e "a", "b" > 1?

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Gabarito: 16.

Deve ter uma forma mais prática e mais matematicamente bonita de se fazer isso, mas apelei para o manual...

Já que a e b devem ser maiores que 1, pensemos inicialmente como a = 2 e depois 3,4,5... e b=2 e depois 3,4,5...

2²= 4; 2³= 8; 2⁴= 16; 2⁵= 36; 2⁶= 72; 2⁷= 144.  Opa!, 144>100 então quando o a=2, só teremos 6 números que podem ser escritos nessa forma de potência. Próximo então!

3² = 9; 3³ = 27; 3⁴ = 81; 3⁵= 243 => 243>100, stop!

4²= 16; 4³=64; 4⁴=256 => 256>100.

5²=25; 5³= 125.

6²=26; 6³>100.

7²= 49. 7³ >100.

8²=64, 81>100

9²=91, 9³>100

10²=100.

Se você contar, apenas 16 números podem ser escritos na forma a ^b.

Opa:

2²= 4; 2³= 8; 2⁴= 16; 2⁵= 32; 2⁶= 64; 2⁷= 128

4, 8, 16, 32, 64 --> 5 números

3² = 3 , 3³ = 27 , 3⁴ = 81 ---> 3 números

4² = 16, 4³ = 64 ---> Já existem acima: 0 números

5² = 25 ---> 1 número

6² = 36 -->  1 número

7² = 49 ---> 1 número

8² = 64 ---> Já existe acima ---> 0 números

9² = 81 ---> Já existe acima ---> 0 números

10² = 100 ---> 1 número

São apenas 12 números