Equação com fatorial

[latex]\\\mathrm{\frac{(x+6)!}{(x+2)!}=\frac{(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)!}{(x+2)!}=(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)=1680}\\\\ \mathrm{Pelo\ Teorema\ das\ Raizes\ Racionais\ tem-se\ que\ x=2\ \acute{e}\ uma\ possivel\ raiz\ de\ P(x).}\\\\ \mathrm{Para\ x=2\to 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680,ou\ seja,x=2\ de\ fato\ \acute{e}\ raiz\ de\ P(x),pois\ P(2)=0}\\\\ \mathrm{Por\ def.:n!=\prod_{k=1}^{n}(k)=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1,\forall \ n\in \mathbb{N}}\\\\ \mathrm{Pela\ definic\tilde{a}o\ de\ fatorial, portanto,n\tilde{a}o\ h\acute{a}\ outro\ valor\ de\ x\ que\ satisfaca\ a\ igualdade\ abaixo}\\\\ \mathrm{(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)=1680,pois\ para\ x>2\to (x+6)(x+5)(x+4)(x+3)>1680}[/latex]

Do polinômio anterior ainda é possível obter x = - 11 e outras duas raízes complexas que não convêm.

Ademais, para x < 2, naturalmente concluímos que (x + 6)(x + 5)(x + 4)(x + 3) < 1680.