Álgebra

por vambertxs Sáb 13 Abr 2024, 20:32

determine a quantidade de coordenadas inteiras e positivas (x,y) que satisfazem a seguinte equação:

x^3 + y^3 +3xy = 6021

resposta: 2

alguém poderia me ajudar Smile

por **tales amaral** Dom 14 Abr 2024, 09:26

Note que [latex] x^3 +y^3 = (x+y)^3 -3xy(x+y) [/latex]

Um caminho: Se você olhar resto 3, você vai obter x+y divisível por 3 (Pelo pequeno teorema de fermat). Se olhar resto 9, usando que x+y é divisível por 3, vai obter xy divisível por 3. Agora xy divisível por 3 implica que x ou y é divisível por 3. De x+y divisível por 3, obtemos que ambos devem ser múltiplos de 3.

Logo x = 3a, y =3b.

Aí você obtêm a^3 + b^3 +ab = 223. Observe que 7^3 > 223, então a,b < 7. Aí já limitou as soluções a 0 < a,b <7. Agora é só testar os valores, lembrando que se (a,b) é solução, também temos (b,a) solução.

Se você quiser eu escrevo os detalhes, mas dá pra fazer assim cheers

por vambertxs Dom 14 Abr 2024, 11:35

tales amaral escreveu:Note que [latex] x^3 +y^3 = (x+y)^3 -3xy(x+y) [/latex]

Um caminho: Se você olhar resto 3, você vai obter x+y divisível por 3 (Pelo pequeno teorema de fermat). Se olhar resto 9, usando que x+y é divisível por 3, vai obter xy divisível por 3. Agora xy divisível por 3 implica que x ou y é divisível por 3. De x+y divisível por 3, obtemos que ambos devem ser múltiplos de 3.

Logo x = 3a, y =3b.

Aí você obtêm a^3 + b^3 +ab = 223. Observe que 7^3 > 223, então a,b < 7. Aí já limitou as soluções a 0 < a,b <7. Agora é só testar os valores, lembrando que se (a,b) é solução, também temos (b,a) solução.

Se você quiser eu escrevo os detalhes, mas dá pra fazer assim

por vambertxs Dom 14 Abr 2024, 11:38

vambertxs escreveu:
tales amaral escreveu:Note que [latex] x^3 +y^3 = (x+y)^3 -3xy(x+y) [/latex]

Um caminho: Se você olhar resto 3, você vai obter x+y divisível por 3 (Pelo pequeno teorema de fermat). Se olhar resto 9, usando que x+y é divisível por 3, vai obter xy divisível por 3. Agora xy divisível por 3 implica que x ou y é divisível por 3. De x+y divisível por 3, obtemos que ambos devem ser múltiplos de 3.

Logo x = 3a, y =3b.

Aí você obtêm a^3 + b^3 +ab = 223. Observe que 7^3 > 223, então a,b < 7. Aí já limitou as soluções a 0 < a,b <7. Agora é só testar os valores, lembrando que se (a,b) é solução, também temos (b,a) solução.

Se você quiser eu escrevo os detalhes, mas dá pra fazer assim

olá, muito obrigado pela ajuda, mas confesso que teve umas partes que eu não entendi rs

na expressão, podemos fatoras que

x^3 + y^3 +3xy = (x+y)^3 -3xy(x+y) +3xy = (x+y)^3 -3xy(x+y-1) = 6021

analisando mod 3 temos, como 6021 é mult de 3:

(x+y)^3 ≡ 0 (mod 3), não entendi a parte que x+y = 3k, não seria (x+y)^3 múltiplo de 3?

a parte do mod 9 eu também não compreendi, tenha um bom dia

por **tales amaral** Dom 14 Abr 2024, 14:21

vambertxs escreveu:
vambertxs escreveu:
tales amaral escreveu:Note que [latex] x^3 +y^3 = (x+y)^3 -3xy(x+y) [/latex]

Um caminho: Se você olhar resto 3, você vai obter x+y divisível por 3 (Pelo pequeno teorema de fermat). Se olhar resto 9, usando que x+y é divisível por 3, vai obter xy divisível por 3. Agora xy divisível por 3 implica que x ou y é divisível por 3. De x+y divisível por 3, obtemos que ambos devem ser múltiplos de 3.

Logo x = 3a, y =3b.

Aí você obtêm a^3 + b^3 +ab = 223. Observe que 7^3 > 223, então a,b < 7. Aí já limitou as soluções a 0 < a,b <7. Agora é só testar os valores, lembrando que se (a,b) é solução, também temos (b,a) solução.

Se você quiser eu escrevo os detalhes, mas dá pra fazer assim

olá, muito obrigado pela ajuda, mas confesso que teve umas partes que eu não entendi rs

na expressão, podemos fatoras que

x^3 + y^3 +3xy = (x+y)^3 -3xy(x+y) +3xy = (x+y)^3 -3xy(x+y-1) = 6021

analisando mod 3 temos, como 6021 é mult de 3:

(x+y)^3 ≡ 0 (mod 3), não entendi a parte que x+y = 3k, não seria (x+y)^3 múltiplo de 3?

a parte do mod 9 eu também não compreendi, tenha um bom dia

Uma propriedade dos números primos é que se p | ab, temos p|a ou p|b. Isso é consequência do lema: Se a | bc com mdc(a,b) = 1, então a | c.

No seu jeito, temos que 3 | (x+y)^3, logo 3| (x+y)(x+y)(x+y), portanto 3 | x+y ou 3| x+y ou 3 | x+y. Em qualquer caso, temos 3 | x+y.

No meu jeito (que eu tinha pensado):
Pelo teorema de fermat, temos [latex] a^p \equiv a \mod p [/latex] (p primo). Logo [latex] a^3 \equiv a \mod 3 [/latex]. Logo [latex] x^3 +y^3 \equiv x+y \mod 3 [/latex].

Sinceramente, eu prefiro o seu jeito, pois não usa o teorema de Fermat.

Assumindo que x+y = 3k, temos (x+y)^3 -3xy(x+y) +3xy = 6021, logo 27k^3 -9k * xy + 3xy = 6021 => 9k^3 -3k* xy + xy = 2007. (O que dá pra concluir sobre xy?)