Análise combinatória

Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f: B  → A existem?

(I) O número de funções que possuem no máximo 3 elementos na imagem é \(3\times3\times3\times3\times3=3^5\)

(II) O número de funções que possuem no máximo 2 elementos na imagem pode ser determinado da seguinte forma:

(i) Escolhemos 2 dos 3 elementos do contradomínio para estarem na imagem: \(C(3,2)\)
(ii) Distribuímos esses 2 elementos para cada um dos 5 elementos do domínio: \(2^5\)
(iii) Logo, o número de funções que possuem no máximo 2 elementos é \(C(3,2)\times 2^5\)

(III) O número de funções que possuem apenas 1 elemento na imagem é simplesmente \(C(3,1)\times 1^5\)

Logo, pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de funções sobrejetivas de B em A é:

\[N=3^5-C(3,2)*2^5+C(3,1)*1^5\]
\[\therefore \fbox{$N=150$}\]