Equações polinomiais

por Eduardo3943 Sex 15 Mar 2024, 20:01

(UF-BA) Considere o polinômio com coeficientes reais [latex]P(x)=3x^5-7x^4+mx^3+nx^2+tx+6[/latex]. Sabendo que [latex]P(x)[/latex] é divisível por [latex]x^2+2[/latex] e possui três raízes reais que formam uma progressão geométrica, determine o resto da divisão de [latex]P(x)[/latex] por [latex]x+2[/latex].

Gabarito:
-210

por **Giovana Martins** Sáb 16 Mar 2024, 07:31

A partir do enunciado podemos dizer que as raízes de P(x) são: {± 2i, a/r, a, ar}.

A forma fatorada de um polinômio de grau 5 é dada por:

P(x) = k(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)(x - x₅), sendo k o coeficiente do termo de maior grau.

Note que P(x) = 3x⁵ - 7x⁴ + mx³ + nx² + tx + 6 (i), logo, k = 3 tal que P(x) = 3(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)(x - x₅).

Conhecendo o formato das raízes de P(x), podemos rescrevê-la como:

P(x) = 3(x² + 2)(x - ar)(x - a)[x - (a/r)]

Expandindo a igualdade anterior:

$Equações polinomiais Gif$

Comparando termo a termo as parcelas de (i) e (ii):

-6a³ = 6 → a = - 1

-3ar - 3a - (3a/5) = - 7 → r = - 1/3 ou r = - 3

Assim: (a/r, a, ar) = (3, -1, 1/3).

Deste modo: P(x) = 3(x² + 2)[x - (1/3)](x + 1)(x - 3), tal que o resto da divisão de P(x) por x + 2 pode ser calculado conforme abaixo:

P(-2) = 3 x [(-2)² + 2] x [- 2 - (1/3)] x (1 - 2) x (- 2 - 3) = - 210

A questão não pediu isso, mas se você desenvolver P(x) = 3(x² + 2)(x - 3)(x + 1)[x - (1/3)] você encontrará P(x) = 3x⁵ - 7x⁴ - x³ - 11x² - 14x + 6. Assim, m = - 1, n = - 11 e t = - 14.

por **Giovana Martins** Sáb 16 Mar 2024, 07:39

Não tentei, mas acredito que a resolução saia por Girard também. Acredito até que seja mais fácil por Girard.

Tentei uma resolução sem ser por Girard, pois acredito que a maioria não se lembraria de quais coeficientes teriam de ser usados nas relações entre raízes e coeficientes.

À noite eu tento algo por Girard.

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