Quadrado, círculo e reta
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Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71769
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Leonardo Mariano gosta desta mensagem
Re: Quadrado, círculo e reta
Boa noite Elcio, pensei assim:
EP e EN são tangentes externas à circunferência saindo do ponto E, logo EP = EN = x;
Como os lados CB e CD são tangentes à circunferência, os segmentos ON e OM são perpendiculares aos lados do quadrado, então ONCM é um quadrado, consequentemente CN = 2;
A partir dos dois itens acima, BE = 8 - (2 + x) = 6 - x;
Traçando a diagonal AC, pela simetria ela passa pelo centro O, e chamando de F e G os pontos da sua intersecção com a circunferência;
A diagonal AC vale 8√2;
Fazendo potência de ponto nos segmentos CF e CN, e chamando CG de y, temos que: CG.CF = 2² -> y(y + 4) = 4 -> y = 2(√2 - 1);
Agora fazendo potência de ponto nos segmentos AG e AP, e chamando AP de z: AF.AG = z² -> z² = (8√2 - 4 - 2√2 + 2)(8√2 - 2√2 + 2) -> z² = (6√2 - 2)(6√2 + 2) -> z = √68 = 2√17;
Por fim, aplicando pitágoras ao triângulo retângulo ABE:
AE² = AB² + BE² -> (2√17 + x)² = (² + (6 - x)² -> x(4√17 + 12) = 32 -> x = 8/(√17 + 3)
EP e EN são tangentes externas à circunferência saindo do ponto E, logo EP = EN = x;
Como os lados CB e CD são tangentes à circunferência, os segmentos ON e OM são perpendiculares aos lados do quadrado, então ONCM é um quadrado, consequentemente CN = 2;
A partir dos dois itens acima, BE = 8 - (2 + x) = 6 - x;
Traçando a diagonal AC, pela simetria ela passa pelo centro O, e chamando de F e G os pontos da sua intersecção com a circunferência;
A diagonal AC vale 8√2;
Fazendo potência de ponto nos segmentos CF e CN, e chamando CG de y, temos que: CG.CF = 2² -> y(y + 4) = 4 -> y = 2(√2 - 1);
Agora fazendo potência de ponto nos segmentos AG e AP, e chamando AP de z: AF.AG = z² -> z² = (8√2 - 4 - 2√2 + 2)(8√2 - 2√2 + 2) -> z² = (6√2 - 2)(6√2 + 2) -> z = √68 = 2√17;
Por fim, aplicando pitágoras ao triângulo retângulo ABE:
AE² = AB² + BE² -> (2√17 + x)² = (² + (6 - x)² -> x(4√17 + 12) = 32 -> x = 8/(√17 + 3)
Leonardo Mariano- Monitor
- Mensagens : 516
Data de inscrição : 11/11/2018
Idade : 22
Localização : Criciúma/SC
Medeiros gosta desta mensagem
Re: Quadrado, círculo e reta
Uma ligeira variação:
Se AC =8√2 e OC =2√2 então AO =6√2.
Pitágoras no triângulo retângulo AOP resulta z =2√17.
finalmente racionalizando, x = √17 - 3 ≈ 1,123
Se AC =8√2 e OC =2√2 então AO =6√2.
Pitágoras no triângulo retângulo AOP resulta z =2√17.
finalmente racionalizando, x = √17 - 3 ≈ 1,123
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10409
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Leonardo Mariano gosta desta mensagem
Re: Quadrado, círculo e reta
Perfeito!
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71769
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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