Heptágono regular convexo

1. Mostre que se ABCDEFG é um heptágono regular convexo, então

Vamos à equação :

[latex] z^7 - a^7 = 0, a>0  [/latex]

[latex]\Rightarrow z = acis(\frac{2k\pi }{7}), k =0,1,2... [/latex]

Note que as raízes da equação acima formam um heptágono regular convexo no plano complexo. Sem perda de generalidade, podemos definir:

[latex]A = acis(\frac{2*0*\pi }{7}) = a [/latex]
[latex]B = acis(\frac{2\pi }{7}) [/latex]
[latex]C = acis(\frac{4\pi }{7}) [/latex]
[latex]D = acis(\frac{6\pi }{7}) [/latex]

Agora, 

[latex] \mid \overrightarrow{AB} \mid = a\mid cis\frac{2\pi}{7} -1\mid=2asin\frac{\pi}{7}[/latex]

[latex] \mid \overrightarrow{AC} \mid = a\mid cis\frac{4\pi}{7} -1\mid=2asin\frac{2\pi}{7} [/latex]

[latex] \mid \overrightarrow{AD} \mid = a\mid cis\frac{6\pi}{7} -1\mid=2asin\frac{3\pi}{7} [/latex]

Por fim, temos:

[latex]\frac{1}{ \mid \overrightarrow{AC} \mid} + \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AD} \mid}  = \ \frac{1}{2asin\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{2asin\frac{3\pi}{7}} = \frac{sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{3\pi}{7}}{2asin\frac{2\pi}{7}sin\frac{3\pi}{7}} [/latex]

[latex]\Rightarrow \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AC} \mid} + \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AD} \mid} = \frac{sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{4\pi}{7}}{2asin\frac{2\pi}{7}sin\frac{3\pi}{7}} =  \frac{2sin\frac{3\pi}{7}cos\frac{\pi}{7}}{2asin\frac{2\pi}{7}sin\frac{3\pi}{7}}  [/latex]

[latex]\Rightarrow  \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AC} \mid} + \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AD} \mid} =  \frac{cos\frac{\pi}{7}}{2asin\frac{\pi}{7}cos\frac{\pi}{7}} = \frac{1}{2asin\frac{\pi}{7} [/latex]

[latex]\therefore \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AC} \mid} + \frac{1}{ \mid \overrightarrow{AD} \mid} = \frac{1}{\mid \overrightarrow{AB} \mid  }\,\, \square [/latex]

Outra solução, usando Geometria Plana:

https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono

Elcioschin escreveu:Outra solução, usando Geometria Plana:

https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono

Adorei essa outra solução Elcio, muito simples e direta. Infelizmente nunca tive uma aula presencial com o Morgado, apenas usei os livros dele... Que sorte a sua!