FUVEST 2022 - função do 2o grau e circunferência

por anadelcalle Sex 01 Dez 2023, 23:26

Considere, no plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto (0 , 3) e com raio 2 e, para cada a ∈ ℝ, a≠0, a parábola cuja equação é y = ax^2 + 1.
a) Para a = −1, encontre o ponto comum entre a circunferência e a parábola.
b) Para a =1, apresente 3 pontos em comum entre a circunferência e a parábola.
c) Encontre todos os valores de a para os quais a circunferência e a parábola possuam exatamente 3 pontos em comum.

gabarito:
a) (0,1)
b) (0,1);(raiz de 3, 4) e (-raiz de 3, 4)
c) a > 1/4

No item C, fiz essa resolução e não entendo quais foram as condições usadas para chegar na inequação da resposta. O máximo que consegui foi a = 1/4

FUVEST 2022 - função do 2o grau e circunferência Smarts12

por **Giovana Martins** Sáb 02 Dez 2023, 08:44

A equação da parábola, do jeito que está no enunciado, não faz muito sentido. Acredito que era para ser y = ax² + 1. Se não for isso, me avise que eu ajusto.

Item A:

[latex]\\\mathrm{Para\ a=-1:\left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=-x^2+1} \end{matrix}\right.\ \therefore\ (0,1)\ \vee\ \cancel{\left (\pm \mathrm{i\sqrt{6}},6 \right )}\ \therefore\ \ \boxed{(0,1)}}[/latex]

Item B:

[latex]\\\mathrm{Para\ a=1:\left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=x^2+1} \end{matrix}\right.\ \therefore\ \boxed {(0,1)\ \vee\ \left (\pm \mathrm{\sqrt{3}},4 \right )}}[/latex]

Item C:

Note que um dos pontos de encontro será P1(0,1), certo? Precisamos agora descobrir os outros dois para chegarmos aos 3 pontos de encontro solicitado pelo enunciado. Para isso, temos que analisar o discriminante. Note que para ∆ = 0 a circunferência e a parábola serão tangentes, o que fornecerá somente um ponto em comum, o que não vale para a gente, tendo em vista que precisamos de dois pontos em comum para totalizar os três pontos solicitados pelo enunciado. Então, precisamos da situação na qual as curvas são secantes, motivo pelo qual fazemos ∆ > 0. O a = 1/4 que você chegou corresponde à situação na qual parábola e circunferência são tangentes, por isso a sua resolução não deu certo.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=ax^2+1} \end{matrix}\right.\ \to x^2+(ax^2-2)^2=4\to x^2\left (a^2x^2-4a+1 \right )=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ x=0\ (i)\ \vee\ a^2x^2-4a+1=0\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ De\ (i):sendo\ x=0\ \therefore\ y=a\cdot (0)^2+1=1\ \therefore\ P_1(0,1)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \Delta =0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ s\tilde{a}o\ tangentes,logo,1\ ponto\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \Delta >0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ s\tilde{a}o\ secantes,logo,2\ pontos\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\Delta <0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ n\tilde{a}o\ se\ intersectam,logo,0\ pontos\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ De\ (ii):\Delta =(0)^2-(4)(a^2)(-4a+1)>0\ \therefore\ \boxed {\mathrm{a>\frac{1}{4}}}}\\\\ [/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 02 Dez 2023, 08:46

por **Giovana Martins** Sáb 02 Dez 2023, 08:48

Eu criei esta animação no post acima para facilitar o entendimento da questão.

FUVEST 2022 - função do 2o grau e circunferência 8PXUZvFwFEEZAAAAAASUVORK5CYII=

Deslize o controle deslizante indicado pela seta em vermelho para ver o comportamento da parábola conforme o parâmetro "a" varia.

por anadelcalle Sáb 02 Dez 2023, 10:28

Giovana Martins escreveu:
A equação da parábola, do jeito que está no enunciado, não faz muito sentido. Acredito que era para ser y = ax² + 1. Se não for isso, me avise que eu ajusto.

Item A:

[latex]\\\mathrm{Para\ a=-1:\left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=-x^2+1} \end{matrix}\right.\ \therefore\ (0,1)\ \vee\ \cancel{\left (\pm \mathrm{i\sqrt{6}},6 \right )}\ \therefore\ \ \boxed{(0,1)}}[/latex]

Item B:

[latex]\\\mathrm{Para\ a=1:\left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=x^2+1} \end{matrix}\right.\ \therefore\ \boxed {(0,1)\ \vee\ \left (\pm \mathrm{\sqrt{3}},4 \right )}}[/latex]

Item C:

Note que um dos pontos de encontro será P1(0,1), certo? Precisamos agora descobrir os outros dois para chegarmos aos 3 pontos de encontro solicitado pelo enunciado. Para isso, temos que analisar o discriminante. Note que para ∆ = 0 a circunferência e a parábola serão tangentes, o que fornecerá somente um ponto em comum, o que não vale para a gente, tendo em vista que precisamos de dois pontos em comum para totalizar os três pontos solicitados pelo enunciado. Então, precisamos da situação na qual as curvas são secantes, motivo pelo qual fazemos ∆ > 0. O a = 1/4 que você chegou corresponde à situação na qual parábola e circunferência são tangentes, por isso a sua resolução não deu certo.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} \mathrm{x^2+(y-3)^2=4}\\ \mathrm{y=ax^2+1} \end{matrix}\right.\ \to x^2+(ax^2-2)^2=4\to x^2\left (a^2x^2-4a+1 \right )=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ x=0\ (i)\ \vee\ a^2x^2-4a+1=0\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ De\ (i):sendo\ x=0\ \therefore\ y=a\cdot (0)^2+1=1\ \therefore\ P_1(0,1)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \Delta =0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ s\tilde{a}o\ tangentes,logo,1\ ponto\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \Delta >0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ s\tilde{a}o\ secantes,logo,2\ pontos\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\Delta <0\to Par\acute{a}bola\ e\ circunfer\hat{e}ncia\ s\tilde{a}o\ n\tilde{a}o\ se\ intersectam,logo,0\ pontos\ em\ comum}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ De\ (ii):\Delta =(0)^2-(4)(a^2)(-4a+1)>0\ \therefore\ \boxed {\mathrm{a>\frac{1}{4}}}}\\\\ [/latex]

Queria elogiar sua resolução!! Você é muito dedicada, obrigada <3. No item c, eu imaginei que delta > 0 daria quatro pontos de intersecção, por isso o erro.
obs: sobre o enunciado, deu um erro no símbolo que estava antes e acabei apagando o x junto. Vou arrumar.