Fibonacci - Algarismos do Período

Sabe-se que a soma 5= 0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + ...

converge para uma dízima periódica cujo número de algarismos do período é igual a:

a)22
b)42
c)44
d)48
e)88

(Eu calculei a soma. Deu 10/89)

E fazendo 10/89 no computador eu descobri que é


Legal.

Como eu faria para saber que 10/89 possui 44 casas decimais sem fazer a conta?




OBS: Questão 04) 1º Simulado ITA/IME LPM
Disponível em:

http://www.rumoaoita.com/site/attachments/364_SIMULADO_2010___ITA%20IME__N01.pdf

Olá,

Sei que esta questão ainda não é para meu nível, mas fiquei curioso:

Como é feito a sequência? Ou melhor, como você chegou em 10/89?


Obrigado!

Werill, com muito prazer lhe mostro o raciocínio:

S é o valor da soma.

S= 0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + ...


Calcule 10S:

10S = 1 + 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0005 + 0,00008 + 0,0000013 + ...

Agora faça 10S - S= 9S
(Como se fosse fazer uma dízima periódica)

(1 + 0,1 + 0,02 + 0,003 + 0,0005 + 0,00008 + 0,0000013 + ...) - (0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + ... ) = 9S

Como a sequência se aproxima cada vez mais do zero, isto é, tende a zero, os últimos termos terão valor insignificante próximos dos primeiros termos. É como fossem zero e somá-los não fizesse diferença. Assim, achamos o valor que a sequência sempre tenta chegar, que é o número para o qual converge a sequência.

Portanto:

1 + 0,01 + 0,001 + 0,0002 + 0,00003 + ... = 9S

1 + (1/10)(0,1 + 0,01 + 0,002 + ...) =9S

Como (0,1 + 0,01 + 0,002 + ...) = S

1 + (1/10)S = 9S

10 + S = 90S

10=89S

S=10/89

Isso dá certo pois é a sequência de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,...) é construída de forma que cada termo é a soma dos dois antecessores. O décimo termo é a soma do nono com o oitavo. O n-ésimo, a soma do n-1-ésimo com o n-2-ésimo.

Por isso eu posso proceder quase como uma dízima periódica e aparece o S/10 no meio da resolução.

Se você não entender, pergunte!

Grande abraço.

Jean

Entendi sim! Muito obrigado!

(Pesquisei sobre a sequência de Fibonacci, pois não conhecia)

Gostei do problema, agora só falta saber como terminar (espero que tenha uma maneira mais rápida e bonita que fazer a divisão)

Muito obrigado mesmo Jean!!

Observe que para encontrar o número de algarismos da dizima basta encontrar a fração geratriz que será do tipo :
10/89 = k /999...999 ( n noves) ou ainda:
10/89 = k/10^n -1 (observe que o periodo da dizima será igual ao numero minimo n de algarismos noves da fração geratriz)
logo:

89*k=10(10^n-1)
89*k' = 10^n -1
10^n =1 mod 89
Pelo pequeno teorema de fermat (a^(p-1)=1 mod p):
10^88=1 mod 89

Como queremos o valor minimo ainda devemos testar os divisores de 88:
10^2 = 11 mod 89
10^4 = 32 mod 89
10^8 = 44 mod 89
10^11 = 55 mod 89
10^22 = 88 mod 89
10^44 = 1 mod 89
Logo a fração terá 44 noves, então o período será de 44 algarismos.
Alternativa C.

Obs: Ao invés do sinal da igualdade o sinal correto seria o de congruência.

Cumprimentos, Victor M.

Correto!

Perfeito! Sempre quis saber como achar qualquer fração geratriz! Muito obrigado!

≡

O sinal de congruência faz falta mesmo.


Grande abraço