(ITA-1950) Calcular a derivada n – esima das funções

por **Jigsaw** Seg 16 Out 2023, 10:31

3.1) Calcular a derivada n – esima das funções

[latex]y=sen\ x[/latex]

[latex]y=\frac{1}{x}[/latex]

Spoiler:

por **Giovana Martins** Sex 20 Out 2023, 17:37

Item A:

[latex]\\\mathrm{Para\ n=1:\frac{d}{dx}\left [ sin(x) \right ]=cos(x)=sin\left ( x+\frac{1\cdot \pi}{2} \right )}\\\\ \mathrm{Para\ n=2:\frac{d^2}{dx^2}\left [ sin(x) \right ]=-sin(x)=sin\left ( x+\frac{2\cdot \pi }{2} \right )}\\\\ \mathrm{Para\ n=3:\frac{d^3}{dx^3}\left [ sin(x) \right ]=-cos(x)=sin\left ( x+\frac{3\cdot \pi }{2} \right )}\\\\ \mathrm{Para\ n=4:\frac{d^4}{dx^4}\left [ sin(x) \right ]=sin(x)=sin\left ( x+\frac{4\cdot \pi }{2} \right )}\\\\ \mathrm{Do\ padr\tilde{a}o:\frac{d^n}{dx^n}\left [ sin(x) \right ]=sin\left ( x+\frac{n\pi }{2} \right )}[/latex]

Item B:

[latex]\\\mathrm{Para\ n=1:\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{x} \right )=-\frac{1}{x^2}}\\\\ \mathrm{Para\ n=2:\frac{d^2}{dx^2}\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{2\cdot 1}{x^3}}\\\\ \mathrm{Para\ n=3:\frac{d^3}{dx^3}\left ( \frac{1}{x} \right )=-\frac{3\cdot 2\cdot 1}{x^4}}\\\\ \mathrm{Para\ n=4:\frac{d^4}{dx^4}\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{x^5}}\\\\ \mathrm{Do\ padr\tilde{a}o:\frac{d^n}{dx^n}\left ( \frac{1}{x} \right )=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}}[/latex]

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