(ITA-1959) Se existirem x e y tais que x>y

1.4) Se existirem x e y tais que [latex]x>y[/latex] e [latex]a^x< a^y[/latex], [latex](a>0)[/latex], então, existem z e w tais que [latex]z>w[/latex] e [latex]a^z>a^w[/latex].

A afirmativa é VERDADEIRA ou FALSA (demonstre)?

Spoiler:

Jigsaw escreveu:1.4) Se existirem x e y tais que [latex]x>y[/latex] e [latex]a^x< a^y[/latex], [latex](a>0)[/latex], então, existem z e w tais que [latex]z>w[/latex] e [latex]a^z>a^w[/latex].

A afirmativa é VERDADEIRA ou FALSA (demonstre)?

Spoiler:

Olá, Jigsaw! Como vai?
Fiquei um pouco confuso com esse "demonstre" da questão...

1) Esse "Se existirem x e y tais que [...]" da questão equivale à "{∃ x,y∈ℝ; a∈ℝ^*₊-{1} | x > y ^ (a^x) < (a^y)}", então eu preciso provar apenas para um caso específico em que 0 < a < 1 e x > y que a fórmula atômica terá valor lógico verdadeiro? Porque isso é o que me parece, devido ao "∃ x,y [...]".

2) De qualquer forma, vamos lá:

 I) A afirmativa ao qual o enunciado se refere pode ser simplificada para a proposição "p→q". A única forma de uma condicional "p→q" ser falsa é quando "p" tem valor lógico verdadeiro (V) e "q" tem valor lógico falso (F):

    [latex](V \rightarrow F) \Leftrightarrow F[/latex]

 II) Para verificar "p" é muito simples:

[latex]p=\left \{ \exists x,y\in \mathbb{R};a\in \mathbb{R}^{*}_{+}\: |\: (x>y)\wedge (a^{x}< a^{y}) \right \}[/latex]

Devido ao "∃" ("existe um...") só precisamos provar para um único caso para que "p" seja verdadeiro: a = 1/2, x = 4 e y = 3 -> [(1/2)^4] < [(1/2)^3] é verdadeiro, logo "p" tem valor lógico V.

 III) Agora é só verificar "q", que é basicamente o mesmo processo, então não vou nem utilizar o LATEX: a = 2, z = 4 e y = 3 -> (2^4) > (2^3) (V).

 IV) Pronto, se "p" é verdadeira e "q" é verdadeira então a afirmativa é verdadeira, e acredito que já demonstrei ser verdadeira.

Sinceramente o que me deixaria preocupado na hora da prova é esse "demonstre", mas acho que eu acabei entendendo.