(IME-CG) Força Aplicada

por JpGonçalves_2020 Qua 30 Ago 2023, 16:50

Uma caixa com massa de m apoia-se em um piso horizontal. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e o piso vale µ. Suponha que é aplicada uma força sobre o corpo que faz um ângulo θ com a direção horizontal, conforme a figura. Determine o valor máximo da força aplicada para que o corpo não se mova. Considere a aceleração da gravidade igual a g.

Infelizmente não possuo o gabarito.

por **Elcioschin** Qua 30 Ago 2023, 17:48

Decompondo a força F numa componente horizontal Fx e outra vertical Fy

Fx = F.cosθ ---> Para a direita
Fy = F.senθ ---> Para cima

Atuam no corpo mais duas forças:

Força de atrito Fa ---> horizontal para a esquerda
Reação normal N do solo sobre o corpo --> Vertical para cima

N + Fy = P ---> N + F.cosθ = m.g ---> N = m.g - F.cosθ ---> I

Fx = Fa ---> F.senθ = µ.N ---> F.senθ = µ.(m.g - F.cosθ) ---> Calcule F

por **Giovana Martins** Qua 30 Ago 2023, 18:04

Certeza que a questão quer a força máxima, e não a mínima?

[latex]\\\mathrm{Em\ y:N+Fsin(\theta )=mg\to N=mg-Fsin(\theta )}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ F_{At}=N\mu \ \therefore\ F_{At}=mg\mu -F\mu sin(\theta )}\\\\ \mathrm{Em\ x:Fcos(\theta )=F_{At}\to Fcos(\theta )=mg\mu -F\mu sin(\theta )}\\\\ \mathrm{\therefore\ F(\theta )=\frac{mg\mu }{cos(\theta )+\mu sin(\theta )},dado\ que\ mg\mu =cte}\\\\ \mathrm{Pela\ Desigualdade\ de\ Cauchy-Schwarz:}\\\\ \mathrm{ [cos(\theta )+\mu sin(\theta )]^2\leq (1+\mu ^2)[cos^2(\theta )+sin^2(\theta )]}\\\\ \mathrm{\therefore\ |cos(\theta )+\mu sin(\theta )|\leq \sqrt{1+\mu ^2}}\\\\ \mathrm{ \therefore\ -\sqrt{1+\mu ^2}\leq cos(\theta )+\mu sin(\theta )\leq \sqrt{1+\mu ^2}}\\\\ \mathrm{ \therefore\ F(\theta )=F_{min}=\frac{mg\mu }{\sqrt{1+\mu ^2}}}[/latex]

A propósito, não esqueci de responder a MP que você me enviou. Responderei em breve.

por **Giovana Martins** Qua 30 Ago 2023, 18:08

O Élcio foi mais rápido, mas eu já tinha digitado tudo isso Smile

.

A propósito, dá para minimizar ou maximizar a função do denominador utilizando o truque do triângulo retângulo, ou então, por derivadas, ou ainda pela Substituição de Weierstrass. Fiz pela Desigualdade de Cauchy - Schwarz, porque é a que eu mais gosto.

Veja:

https://pir2.forumeiros.com/t199285-valor-maximo-funcao-seno

https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo