Menor perímetro de retângulo

por Zeis Qui 20 Abr 2023, 09:28

1. Dentre os retângulos com área fixa A, determine qual tem menor perímetro. Encontre um enunciado que apresenta uma boa contextualização para o problema. Como esse problema pode ser modelado por uma função? Como essa função resolve o problema?

por JaquesFranco Qui 20 Abr 2023, 09:58

Olá.

Área do retângulo -> bh = a -> b = a/h
Perímetro do retãngulo -> 2(b + h) = 2(a/h + h) -> f(x) = 2(a/h + h)

Devemos encontrar o mínimo de f(x). Utilizando a desigualdade das médias:

[latex]\dfrac{\dfrac{a}{h} + h}{2} \geq \sqrt{a} \Rightarrow f(x) \geq 4\sqrt{a}[/latex]

Logo, o menor perímetro do retângulo é dado por [latex]4\sqrt{a}[/latex], e isso ocorre quando [latex]\dfrac{a}{h} = h[/latex].

por **Elcioschin** Qui 20 Abr 2023, 13:01

Outro modo é usar derivadas (vou usar x, y para os lados):

A = x.y ---> y = A/x

p = 2.x + 2.y ---> f(x) = 2.x + 2.A/x ---> f(x) = 2.x + 2.A.x^-1

Derivando e igualando a derivada a zero:

f'(x) = 2 - 2.A.x^-2 = 0 ---> x = √A ---> y = √A

p = 4.x ---> p = 4.√A

Uma importante conclusão: de todos os retângulos da área A, o de menor perímetro é um quadrado.