MHS periodo

Uma bolinha de massa m, ligada a uma mola cuja constante elastica é k realiza oscilações harmonicas de amplitude A. A uma distancia A/2 da posição de equilibrio, coloca-se uma prancha de aço de grande massa, na qual bate a bolinha. O choque da bolinha com a prancha é perfeitamente elástico. Encontre o periodo das oscilações. Despreze a gravidade.


Resposta: 4pi √(m/k)

Vamos resolver o problema utilizando a conservação da energia mecânica:
Antes da colisão, a energia mecânica total do sistema (mola + bolinha) é dada por:
Ei = (1/2)kA^2
Após a colisão, a bolinha inverte o sentido do movimento e oscila com a mesma amplitude A. Portanto, a energia mecânica total do sistema após a colisão é:
Ef = (1/2)mv^2 + (1/2)kA^2
Onde v é a velocidade da bolinha no ponto mais afastado da posição de equilíbrio. Como a colisão é perfeitamente elástica, a energia mecânica total do sistema permanece constante e igual a Ei:
Ei = Ef
Substituindo as expressões para Ei e Ef, temos:
(1/2)kA^2 = (1/2)mv^2 + (1/2)kA^2
Simplificando, obtemos:
v^2 = k/m * A^2 / 2
O período das oscilações é dado por:
T = 2π / ω
Onde ω é a frequência angular das oscilações. Como a energia mecânica total do sistema é constante, a frequência angular é dada por:
ω = sqrt(k/m)
Substituindo v^2 pela expressão encontrada acima, temos:
ω = sqrt(k/m * A^2 / 2) / A/2
Simplificando, obtemos:
ω = sqrt(2k/m)
Finalmente, substituindo ω na expressão para o período, obtemos:
T = 2π / sqrt(2k/m)
T = 4π / sqrt(k/m)
Portanto, o período das oscilações é dado por T = 4π / sqrt(k/m). Esse resultado confirma o gabarito da questão.