Experiência de Milikan (Eletrostática)

Na experiência de Millikan, uma gota de óleo microscópica, de 2μm de raio, é introduzida entre as placas de um capacitor plano, cujo espaçamento é de 5 cm. A densidade do óleo é de 0,78 g/cm³. Com as placas inicialmente descarregadas, observa-se que a gota cai, atingindo, devido á resistência do ar, uma velocidade terminal constante v. Quando se aplica entre as placas uma diferença de potencial de 40kV, com o campo elétrico orientado para cima, verifica-se que a velocidade de queda duplica. Qual é o valor da carga, em unidades de carga do elétron?

Spoiler:

Encontrei esta questão na internet, só consigo encontrar 6e.

Quem puder ajudar, agradeço desde já.

Olá hygorvv,

dê uma olhada em

http://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_da_gota_de_%C3%B3leo

Olá Euclides, este método eu conhecia (li a algum tempo atrás). Porém, imaginei que daria para resolver sem usar a lei de Stokes (nunca estudei esta ;( ) até porque ele não deu a viscosidade do ar. Tentei resolver usando a força de resistência do ar (Fres=kv²). O que você acha?
De qualquer forma, obrigado pelo link, Euclides.

Acho que é preciso usar a lei de Stokes. A força de arraste calculada por ela não é proporcional ao quadrado de velocidade.

Então você acha que está faltando dados? Encontrei da onde é esta questão, do livro Curso de Física Básica e está deste jeito (tirando que pede o sinal da carga).

Estranho

Veja o capítulo do livro onde encontrei o problema:
http://ftp.unipar.br/~berg/UNIR/2011/2%20-%20SEMESTRE/Eletromag2/Capacit%C3%A2ncia%20e%20Capacitores%20Diel%C3%A9tricos.pdf

Está nas últimas páginas, nos problemas. É o problema número 1.

Talvez, sairia usando cálculo integral (e usando o conceito de força de resistência do ar).
No regime estacionário da primeira situação (quando a=0), temos
P=Fr
mg=kv²
k=mg/v²

Na segunda situação:
Usando o teorema trabalho-energia
ΣW=ΔEc
int[0~5.10^-2]Fr.h(dh)=ΔEc
Sendo Fr=P+Fel-Fr', onde P e Fel são constantes e Fr'=kv'²

Mas eu não tenho um conhecimento muito aprofundado em cálculo para isso, e além do mais, é só uma suposição ;P

O que acham?

hygorvv, não fiz as contas, mas acho que encontrei o raciocínio que pode resolver:

A) Dados:

r = 2 μm = 2 . 10^-6 m

ρ = 0,78 g/cm³ = 0,78.10^-3 kg/(10^-2 m)³= 0,78.10³ kg/m³ = 7,8 10² kg/m³

Δx = 5 cm = 5 . 10^-2 m

ΔV = 40 kV = 4 . 10⁴ V

Supondo-se:

g = 10 m/s²

e = 1,6 . 10^-19 C

B) Pede-se:

A carga da gota em unidades "e"

C) Sabendo-se:

1) Forças que agem na gota:

Peso P, Forças de Contato (atrito, empuxo ...) C, Força Elétrica F.

2) Leis de Newton:

R = m.a

v = constante ⇔ a = 0

3) Campo Elétrico:

E ≡ F/q ⇒ F = q.E

4) Potencial Elétrico

V ≡ Ep/q ⇒ Ep = q.V

5) Capacitor Plano:

ΔV = E.Δx

6) Volume da esfera:

Ve = 4Πr³/3

7) Densidade (massa específica):

ρ = massa/Volume

D) Tem-se:

(i) Capacitor Desligado, velocidade terminal constante vo:

Se v0 é constante a = 0 e:

P + Co = 0

P = -Co

P = Co (I)

(ii) Capacitor ligado, campo elétrico orientado para cima, v constante de queda = 2vo:

Se v é constante a = 0 e:

Se houve aumento de velocidade v no sentido oposto ao campo elétrico E, a aceleração devida à força F é no mesmo sentido de v, isto é, para baixo, oposta ao campo.

Para isso é necessário que a carga seja negativa, já que: F = q.E

Por Newton:

F + P + C = 0

F + P = C

F = C - P

De (I):

F = C - Co

q.E = C - Co

q.ΔV/Δx = ΔC

q = ΔC.Δx/ΔV

Sendo C proporcional a v, por Stokes:

Co = k.vo = P

C = k.v = k.2vo = 2.k.vo = 2P

ΔC = P

q = P.Δx/ΔV

q = m.g.Δx/ΔV

q = ρ.Ve.g.Δx/ΔV

q/e : nº de cargas elementares "e"

n = ρ.Ve.g.Δx/(ΔV.e)

n = (7,8 . 10² . (4.3/3) (2 . 10^-6)³. 9,8 . 5 . 10^-2)/(4 . 10⁴ . 1,6 . 10^-19)

n = (7,8 . 12 . 8 . 10 . 5 . 10^-18)/ (3 . 4 . 1,6 . 10^-15)

n = (8 . 5 . 10 . 5 . 10^-3)

n = 200/100

n = 2

Resposta: -2e

Só por Stokes mesmo, então!!
Não estou com tempo agora Euclides, para fazer as contas, mas creio que dará certo o seu também.
Obrigado rihan pela resolução.
Agora terei que me ausentar por motivos profissionais, assim que eu voltar, verei a solução (e testarei a proposta pelo Euclides) e qualquer coisa volto a postar.

Obrigado a todos!

Estamos Aqui e

Vamos Lá !

Mas repare que não precisamos de Stokes...

Pense em como seria o gráfico da velocidade "v" versus tempo "t" de uma gotícula de óleo caindo no ar...

Pense como seria se dividíssimos "v" pela velocidade limite "vL", só reduziríamos as dimensões de "v" por "vL".

Daria algo assim:



A velocidade v começa em zero e vai assintoticamente para a velocidade limite vL, (v/vL = 1) certo ?

Esse gráfico é de uma função exponencial do tipo:

y = 1 – e^-c.x

Onde c é um real positivo.

Ou seja:

v/vL = 1 – e^-c.t

Se quisermos agora v(t):

v = vL.(1 – e^-c.t)

ou

v(t) = vL -vL.e^-c.t

Se derivarmos a velocidade v(t) teremos a função aceleração a(t) ...

a = vL.c.e^-c.t

Chamando vL.c de uma constante real positiva β:

a = β. e^-c.t

ou, reduzida:

a/β = e^-c.t .

Que é uma curva decrescente:




Agora repare que a velocidade vai crescendo mas desacelerando até um limite vL enquanto a aceleração vai decrescendo e tendendo a zero.

Velocidade e aceleração, então, tem sentidos opostos, ou seja, vetorialmente e escalarmente têm sinais opostos.

Pegando a relação:

v/vL = 1 – e^-c.t,

e explicitando e^-c.t :

e^-c.t = 1 – v/vL

Substituindo em a/β , temos:

a/β = 1 – v/vL

Podemos escrever que a aceleração é proporcional ao negativo da velocidade:

a = -k.v

Como a aceleração é proporcional a força de contato C:

C = m.a

C = -k'v

Nem falamos de Stokes ...


E vamos lá ! !