Poliedro convexo

Um poliedro convexo P possui A arestas, V vértices e F faces. Com bases em cada uma das faces constroem-se pirâmides regulares com vértices exteriores a P. Fica formado então um poliedro P’ que só possui faces triangulares. Determine os números de arestas, faces e vértices de P’.

O gabarito desta questão é A'=3A'; F'=2A e V'=V+F. Há quem possa explicar a questão para que eu possa compreender?

Faça uma experiência com um cubo: A = 12 , V = 8 , F = 6

Desenhe um cubo e, numa das faces desenhe uma pirâmide de base quadrada. Ela terá a' = 4, v' = 1, f' = 4

As 6 pirâmides terão A' = 6.4 = 24 , V' = 6.1 = 6 , F' = 6.4 = 24

Agora compare com A, V, F

Elcioschin escreveu:Faça uma experiência com um cubo: A = 12 , V = 8 , F = 6

Desenhe um cubo e, numa das faces desenhe uma pirâmide de base quadrada. Ela terá a' = 4, v' = 1, f' = 4

As 6 pirâmides terão A' = 6.4 = 24 , V' = 6.1 = 6 , F' = 6.4 = 24

Agora compare com A, V, F

Eu fiz, mestre.

A=12 e A'=36
V=8 e V'=14
F=6 e F'=24

Muito obrigada. Consegui visualizar.

SILVABRITO50 escreveu:Um poliedro convexo P possui A arestas, V vértices e F faces. Com bases em cada uma das faces constroem-se pirâmides regulares com vértices exteriores a P. Fica formado então um poliedro P’ que só possui faces triangulares. Determine os números de arestas, faces e vértices de P’.

O gabarito desta questão é A'=3A'; F'=2A e V'=V+F. Há quem possa explicar a questão para que eu possa compreender?

 Voce poderia me enviar a resposta do caso geral? nao consegui visualizar... obrigada

thaíssaes escreveu:

SILVABRITO50 escreveu:Um poliedro convexo P possui A arestas, V vértices e F faces. Com bases em cada uma das faces constroem-se pirâmides regulares com vértices exteriores a P. Fica formado então um poliedro P’ que só possui faces triangulares. Determine os números de arestas, faces e vértices de P’.

O gabarito desta questão é A'=3A'; F'=2A e V'=V+F. Há quem possa explicar a questão para que eu possa compreender?

 Voce poderia me enviar a resposta do caso geral? nao consegui visualizar... obrigada

Sejam V, A e F o número de vértices, arestas e faces do poliedro P. 
Sejam V', A' e F' o número de vértices, arestas e faces do poliedro P'. 
Os vértices de P' são também vértices de P e P' tem um vértice sobre cada face de P. Portanto: V'=V+F. 
Sabemos que P' tem somente faces triangulares e que cada aresta de P é lado de exatamente duas faces de P'. Portanto: F'=2A. 
As arestas de P são também arestas de P' e P' tem arestas novas, que são as arestas laterais das pirâmides. Em cada pirâmide o número de arestas laterais é igual ao número de lados de sua base, que é uma face de P. Com isso, o número de arestas novas é 2A. Portanto, A'=A+2A, ou seja, A'=3A.
Então, esse novo poliedro tem:
V'=V+F 

A'=3A 

F'=2A