Análise Combinatória - Enem 2010

João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.



Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.

O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de

A) 60 min.
B) 90 min.
C) 120 min.
D) 180 min.
E) 360 min.

GABARITO:

Boa noite, poderiam me ajudar com essa questão? 

Um trajeto possível é na forma A _ _ _ _ _ A. Basta escolher as 5 letras restantes. As letras podem ser escolhidas de 5! formas, e cada sequência tem outra de mesmo custo. Portanto há 5!/2 = 60 configurações a serem verificadas. Como ele leva 1,5 minutos, temos que ele leva 1,5*60 = 15*6 = 90 minutos ao todo para verificar as sequências.