Pré-Cálculo

por joaovi Sex 29 Abr 2022, 01:43

Considere g(x) = (1 − tan(2x)) (4 − sec2 (x)), para 0 ≤ x ≤ 2ℼ.

(a) Determine o domínio da função g . Observação: responda o domínio em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum)

(b) Resolva a equação g(x) = 0.

por al171 Sex 29 Abr 2022, 01:52

Parece haver um erro de digitação na lei de formação de g(x): sec2(x)? Era para ser sec²(x), ou, sec(2x) ?

por joaovi Sex 29 Abr 2022, 23:48

sec²(x)

por al171 Sáb 30 Abr 2022, 02:19

[latex] g(x) = (1-\tan (2x) ) (4 - \sec^2(x)) [/latex]

a) O domínio de uma função é o conjunto de valores que [latex] x [/latex] pode assumir, sem que sua imagem incorra em indeterminações.

Assim, como o denominador de qualquer fração deve ser diferente de zero, temos:

[latex] \cos (2x) \neq 0 \ \land \ \cos (x) \neq 0 [/latex]

[latex] 0 \leq x \leq 2 \pi \implies 0 \leq 2x \leq 4 \pi [/latex]

[latex] \therefore \quad x \neq \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right\} [/latex]

[latex] \mathrm{D} (g) = \left[ 0 , \frac{\pi}{4} \right) \cup \ \left( \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \right ) \cup \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{4} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{4} , \frac{5\pi}{4} \right) \cup \left(\frac{5\pi}{4} , \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \right) [/latex]

b) Um produto é nulo quando seus fatores (termos entre parêntesis) são nulos:

[latex] (1-\tan (2x) ) (4 - \sec^2(x)) = 0 \Leftrightarrow \tan (2x) = 1 \ \lor \ \sec^2 x = 4[/latex]

[latex] 2x = \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} , \frac{13\pi}{4} \right\} \ \lor \ \cos x = \pm \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\} [/latex]

[latex] S = \left\{\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3} ,\frac{5\pi}{8} , \frac{2\pi}{3} , \frac{9\pi}{8}, \frac{4\pi}{3}, \frac{13\pi}{8} , \frac{5\pi}{3} \right\} [/latex]

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