FME - Vol 1 - Funções Quadráticas - Q.322

por Arlindocampos07 Seg 04 Abr 2022, 15:42

Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ:
[latex](m^{2}-1)x^2+2(m-1)x+1> 0[/latex]

Resolvi usando [latex]\Delta < 0\; \; \; e\; \; a> 0[/latex] como parâmetros e encontrei m>1 como solução, porém, o gabarito coloca m>=1.

Acredito que seja erro do livro, pois, com m=1, a função zeraria (resultado que não é pedido no conjunto solução). Alguém poderia analisar?

por **qedpetrich** Seg 04 Abr 2022, 16:11

Olá Arlindo;

Se m = 1, então:

(1-1)x² + 2(1-1)x + 1 > 0

0x² + 2.0x + 1 > 0

1 > 0

Essa sentença é verdadeira, m = 1 faz parte sim da solução, independendo do valor de x.

por Jvictors021 Seg 04 Abr 2022, 16:14

Amigo, não faz nenhum sentido ele pedir as raízes reais e você fazer ∆ <0, que resulta em raízes complexas, positivas nesse caso haja vista a>0

Você descreveu corretamente o enunciado ?

por **qedpetrich** Seg 04 Abr 2022, 16:23

Jvictors021 escreveu:Amigo, não faz nenhum sentido ele pedir as raízes reais e você fazer ∆ <0, que resulta em raízes complexas, positivas nesse caso haja vista a>0

Você descreveu corretamente o enunciado ?

João, mas essa é a ideia, se ∆ < 0, então ∀ x ∈ ℝ, a inequação é validada. Em nenhum momento a questão enuncia: Calcule as raízes reais ou então raízes complexas, nem sequer é preciso determiná-las, devemos impor somente as condições que façam a sentença (inequação) verdadeira. O que o colega deveria ter feito é assumir a ≥ 0, pelo exposto, se a = 0, então b = 0, assim, 1 > 0. Pelo fato de:

(m+1)(m-1)x² + 2(m-1)x + 1 > 0

Note que os dois termos em função de x possuem (m-1) como fator comum, assim, se m = 1, obviamente as duas se anulam.

por Arlindocampos07 Seg 04 Abr 2022, 17:46

qedpetrich escreveu:Olá Arlindo;

Se m = 1, então:

(1-1)x² + 2(1-1)x + 1 > 0

0x² + 2.0x + 1 > 0

1 > 0

Essa sentença é verdadeira, m = 1 faz parte sim da solução, independendo do valor de x.

Compreendi, @qedpetrich! Descuido meu não ter analisado isso, muito obrigado!

por Jvictors021 Seg 04 Abr 2022, 17:47

Show petrich, imaginei que "∀ x ∈ ℝ" indicaria que as raízes (x1, x2) deveriam ser todas reais, mas na verdade se refere aos valores adotados para o eixo das abscissas, correto ?

por Arlindocampos07 Seg 04 Abr 2022, 17:56

Jvictors021 escreveu:Show petrich, imaginei que "∀ x ∈ ℝ" indicaria que as raízes (x1, x2) deveriam ser todas reais, mas na verdade se refere aos valores adotados para o eixo das abscissas, correto ?

Olá, @Jvictors021. A questão tinha como foco principal estudar o sinal de f(x), praticamente. Então, os valores das raízes não influenciavam em nada, visto que apenas foi pedido que, para todo x real, existisse um f(x) positivo.

Se delta é menor que zero, não existem raízes reais, logo, o valor de f(x) irá depender apenas de "a", que irá determinar a concavidade da nossa parábola. Dessa forma, os únicos parâmetros a serem analisados eram: ver para quais valores de "m" teríamos uma função sem raízes reais; e ver que "a" deveria ser maior(por conta que queremos que f(x) seja positivo) ou igual a 0 para validar a sentença.

por **Elcioschin** Seg 04 Abr 2022, 18:33

O enunciado "não diz que a função tem que ser do 2º grau". Existem, pois, duas possibilidades:

Se m² - 1 ≠ 0 a função é do 2º grau. Como ela deve ser positiva (ficar acima do eixo x) ---> m² - 1 > 0

Se m² - 1 = 0 teremos uma função do 1º grau

por Arlindocampos07 Seg 04 Abr 2022, 18:38

Elcioschin escreveu:O enunciado "não diz que a função tem que ser do 2º grau". Existem, pois, duas possibilidades:

Se m² - 1 ≠ 0 a função é do 2º grau. Como ela deve ser positiva (ficar acima do eixo x) ---> m² - 1 > 0

Se m² - 1 = 0 teremos uma função do 1º grau

Exatamente, mestre Elcio! O meu erro foi desconsiderar a possibilidade da existência da função do 1º grau. Percebo que este é o meu segundo erro relacionado à essas inferências erradas quanto às funções quadráticas paramétricas, irei me atentar mais a isso.

Obrigado!