Funções deriváveis e suas operações.

por macaquinho da kipling Ter 22 Mar 2022, 21:07

(EN) Sejam f e g funções definidas em ℝ e deriváveis em x = 0, tais que:
I. f(0) = 3
II. f'(0) = 4
III. g(0) = 1
IV. g'(0) = -1

Então

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<path id='g2-43' d='M4.770112-2.761644H8.069738C8.237111-2.761644 8.452304-2.761644 8.452304-2.976837C8.452304-3.203985 8.249066-3.203985 8.069738-3.203985H4.770112V-6.503611C4.770112-6.670984 4.770112-6.886177 4.554919-6.886177C4.327771-6.886177 4.327771-6.682939 4.327771-6.503611V-3.203985H1.028144C.860772-3.203985 .645579-3.203985 .645579-2.988792C.645579-2.761644 .848817-2.761644 1.028144-2.761644H4.327771V.537983C4.327771 .705355 4.327771 .920548 4.542964 .920548C4.770112 .920548 4.770112 .71731 4.770112 .537983V-2.761644Z'/>
<path id='g2-48' d='M5.355915-3.825654C5.355915-4.817933 5.296139-5.786301 4.865753-6.694894C4.375592-7.687173 3.514819-7.950187 2.929016-7.950187C2.235616-7.950187 1.3868-7.603487 .944458-6.611208C.609714-5.858032 .490162-5.116812 .490162-3.825654C.490162-2.666002 .573848-1.793275 1.004234-.944458C1.470486-.035866 2.295392 .251059 2.917061 .251059C3.957161 .251059 4.554919-.37061 4.901619-1.06401C5.332005-1.960648 5.355915-3.132254 5.355915-3.825654ZM2.917061 .011955C2.534496 .011955 1.75741-.203238 1.530262-1.506351C1.398755-2.223661 1.398755-3.132254 1.398755-3.969116C1.398755-4.94944 1.398755-5.834122 1.590037-6.539477C1.793275-7.340473 2.402989-7.711083 2.917061-7.711083C3.371357-7.711083 4.064757-7.436115 4.291905-6.40797C4.447323-5.726526 4.447323-4.782067 4.447323-3.969116C4.447323-3.16812 4.447323-2.259527 4.315816-1.530262C4.088667-.215193 3.335492 .011955 2.917061 .011955Z'/>
<path id='g2-50' d='M5.260274-2.008468H4.99726C4.961395-1.80523 4.865753-1.147696 4.746202-.956413C4.662516-.848817 3.981071-.848817 3.622416-.848817H1.41071C1.733499-1.123786 2.462765-1.888917 2.773599-2.175841C4.590785-3.849564 5.260274-4.471233 5.260274-5.654795C5.260274-7.029639 4.172354-7.950187 2.785554-7.950187S.585803-6.766625 .585803-5.738481C.585803-5.128767 1.111831-5.128767 1.147696-5.128767C1.398755-5.128767 1.709589-5.308095 1.709589-5.69066C1.709589-6.025405 1.482441-6.252553 1.147696-6.252553C1.0401-6.252553 1.016189-6.252553 .980324-6.240598C1.207472-7.053549 1.853051-7.603487 2.630137-7.603487C3.646326-7.603487 4.267995-6.75467 4.267995-5.654795C4.267995-4.638605 3.682192-3.753923 3.000747-2.988792L.585803-.286924V0H4.94944L5.260274-2.008468Z'/>
</defs>
<g id='page1' transform='matrix(1.13 0 0 1.13 -63.986043 -60.890404)'>
<use x='56.413267' y='70.188195' xlink:href='#g2-40'/>
<use x='62.161107' y='62.100436' xlink:href='#g2-50'/>
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<rect x='62.161107' y='66.960309' height='.478187' width='33.351662'/>
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<use x='86.648951' y='78.388857' xlink:href='#g1-103'/>
<use x='96.708282' y='70.188195' xlink:href='#g2-41'/>
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<use x='105.812934' y='70.188195' xlink:href='#g2-48'/>
<use x='111.665924' y='70.188195' xlink:href='#g2-41'/>
</g>
</svg>

é igual a:
a) 21/6
b) 7/5
c) -21/6
d) -21/2

Resp.: Sem gabarito.

Como consigo relacionar as funções deriváveis quando eu não tenho a lei de formação delas?
Fiquei nessa dúvida e n consegui desenvolver nada.
E pensei que criar funções arbitrárias poderia me levar ao erro
Obrigada!

por **Giovana Martins** Qua 23 Mar 2022, 19:49

Acho que o seu enunciado tem problemas. Acho que a questão quer a derivada da expressão em x=0. A propósito, creio que a alternativa C também está errada.

Veja a questão 26 desta listinha: https://livrozilla.com/doc/897013/derivada-%E2%80%93-escola-naval

Quanto a minha resolução, na primeira linha da resolução eu utilizei a propriedade da derivada do quociente. Cheguei no mesmo gabarito da lista.

[latex]\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'=\frac{[f(x)-g(x)][2f(x)+g(x)]'-[2f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]'}{[f(x)-g(x)]^2}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'=\frac{[f(x)-g(x)][2f'(x)+g'(x)]-[2f(x)+g(x)][f'(x)-g'(x)]}{[f(x)-g(x)]^2}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'(0)=\frac{[f(0)-g(0)][2f'(0)+g'(0)]-[2f(0)+g(0)][f'(0)-g'(0)]}{[f(0)-g(0)]^2}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'(0)=\frac{[3-1]\times [2\times 4-1]-[2\times 3+1]\times [4+1]}{(3-1)^2}=-\frac{21}{4}}[/latex]

por **Giovana Martins** Qua 23 Mar 2022, 20:11

Uma outra abordagem, pela Regra da Cadeia.

[latex]\\\mathrm{\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)}=[2f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]^{-1}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'=\underset{Regra\ do\ Produto}{\underbrace{\mathrm{[2f(x)+g(x)]\left \{ [f(x)-g(x)]^{-1} \right \}'+[f(x)-g(x)]^{-1}[2f(x)+g(x)]'}}}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'=[2f(x)+g(x)]\left \{ \underset{Regra\ da\ Cadeia}{\underbrace{\mathrm{(-1)[f(x)-g(x)]^{-2}[f'(x)-g'(x)]}}} \right \}+[f(x)-g(x)]^{-1}[2f'(x)+g'(x)]}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'=-\frac{[2f(x)+g(x)][f'(x)-g'(x)]}{[f(x)-g(x)]^2}+\frac{2f'(x)+g'(x)}{f(x)-g(x)}}\\\\ \mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'(0)=-\frac{[2f(0)+g(0)][f'(0)-g'(0)]}{[f(0)-g(0)]^2}+\frac{2f'(0)+g'(0)}{f(0)-g(0)}}\\\\\mathrm{\left [\frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \right ]'(0)=-\frac{[2\times 3+1]\times [4+1]}{(3-1)^2}+\frac{2\times 4-1}{3-1 }=-\frac{21}{4}}[/latex]

por macaquinho da kipling Qua 23 Mar 2022, 22:11

Olá Gi!
Como sempre me salvando das enrascadas kkkk

Sobre as alternativas, infelizmente é oq tá no meu livro... pode ser realmente um erro de digitação, pois já encontrei outros nesse meu material.

Sua resolução foi perfeita, como sempre!
Obrigada!

Apenas queria tirar uma dúvida: quando a questão n fornecer a lei de formação da função? Como vc acha q eu devo me virar?

por **Giovana Martins** Sex 25 Mar 2022, 16:57

Disponha! Creio se tratar de um erro de digitação mesmo.

Olha, a princípio eu pensei em fazer da forma como você pensou em fazer. Tomar duas funções com as características estipuladas pelas proposições I, II, III e IV, porém, eu também não consigo garantir que isso valeria para todos os casos.

Então eu pensei em desenvolver a expressão dada pelo enunciado, pois qualquer propriedade das derivadas que a gente aplicar na expressão, vai fazer com que obtenhamos o caso genérico tendo em vista que já estamos partindo de um caso genérico (foi fornecida as operações - uma função dividida por outra - entre as funções, mas não as suas expressões). Então, creio que no geral devemos aplicar as próprias definições de derivadas sobre as funções ainda que não tenhamos as suas leis de formação.