Cinemática Vetorial - Lançamento Oblíquo.

Num lançamento oblíquo, um projétil pode ter o mesmo alcance A para dois ângulos distintos entre a velocidade inicial e a horizontal.
Determine o produto dos tempos de voo nas duas situações. A aceleração da gravidade é g
a) A/2g
b) A/g
c) 2A/g
d) 4A/g
e) 8A/g
Resp.: Sem gabarito.

Eu fiz assim, porém, não consegui prosseguir. A gente sabe que os alcances são iguais, logo:

Então: senθ . cosθ = senα . cosα
Desenvolvendo o produto pedido pela questão:

Eu cheguei a
Só que não bateu com nenhuma alternativa.

Obrigada!

Utilizando a mesma ideia que você, igualando os alcances você chega em uma equação trigonométrica:
[latex] sen(2 \alpha)=sen(2 \theta) 
\therefore \left\{\begin{matrix}2 \theta = 2 \alpha +2k\pi \\ 2 \theta = \pi -2 \alpha +2k\pi   \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix}\theta = \alpha +k\pi \\ \theta = \frac{\pi}{2} - \alpha +k\pi   \end{matrix}\right.  [/latex]
Pensando fisicamente, você deve encontrar os 2 menores ângulos positivos da solução, que são os ângulos de lançamento. Isso acontece para k = 0.
[latex] k=0\rightarrow \left\{\begin{matrix}\theta = \alpha \\ \theta = \frac{\pi}{2} - \alpha \end{matrix}\right. [/latex]
Agora, encontrando os tempos de voo, e utilizando a identidade sen(pi/2 - a) = cos(a):
[latex] v=v_{0y}-gt_1 \rightarrow t_1= \frac{v_0.sen(\alpha)}{g} \therefore t_{voo_1}=2t_1=\frac{2v_0.sen(\alpha)}{g} \\
Analogamente:\: t_{voo_2}=2t_2=\frac{2v_0.sen(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{g}=\frac{2v_0.cos(\alpha)}{g} [/latex]
Multiplicando os tempos de voo:
[latex] t_{voo_1}.t_{voo_2}=\frac{2v_0.sen(\alpha)}{g}.\frac{2v_0.cos(\alpha)}{g}=\frac{2}{g}.\frac{v_0^2.2sen(\alpha)cos(\alpha)}{g}=\frac{2A}{g} [/latex]
Creio que seja isso.

Oi Leo

Putz, eu dei mole nessa hein
Se eu n tivesse aberto os arcos duplos, eu tinha posto em função do ângulo, talvez desse para desenvolver um pouco mais.

Mesmo assim, vc já me ajudou bastante!
Obrigada!