UF-BA (Determinante)
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UF-BA (Determinante)
por Gabriel vitorio Ter 08 Mar 2022, 13:02
Considere as matrizes A=|x y| de elementos reais não negativos, B=|1 1| e C=|16 7|
|z w| |0 0| |0 9| Sabendo que A comuta com B e que A²=C, calcule o determinante da matriz X=12.(Inversa de A)+(Transposta de A)
Gabarito: Det(x)=50
|z w| |0 0| |0 9| Sabendo que A comuta com B e que A²=C, calcule o determinante da matriz X=12.(Inversa de A)+(Transposta de A)
Gabarito: Det(x)=50
Gabriel vitorio- Padawan
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Re: UF-BA (DETERMINANTE)
por João Pedro Lima Qua 09 Mar 2022, 19:20
Fala, Gabriel.
Se A comuta com B:
AB = BA
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x & x \\ z & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z & y+w \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Então z = 0, d x = y + w
Ademais, A^2 = C:
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x^2 & xy+yw \\ 0 & w^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
Logo X^2 = 16, X = 4 (A questão disse que os elementos são não negativos)
W^2 = 9, W = 3
4y + 3y = 7 -> y = 1
E também, x = y+w, 4 = 3 + 1, logo essa solução é válida.
Fazendo a inversa de A:
[latex]\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Acha-se a matriz:
[latex]\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{-1}{12} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}[/latex]
Finalmente:
[latex]X = 12.\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{-1}{12} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]X = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}[/latex]
Que possui determinante 7*7 - 1*(-1) = 50
Se A comuta com B:
AB = BA
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x & x \\ z & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z & y+w \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Então z = 0, d x = y + w
Ademais, A^2 = C:
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & w \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} x^2 & xy+yw \\ 0 & w^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 7 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}[/latex]
Logo X^2 = 16, X = 4 (A questão disse que os elementos são não negativos)
W^2 = 9, W = 3
4y + 3y = 7 -> y = 1
E também, x = y+w, 4 = 3 + 1, logo essa solução é válida.
Fazendo a inversa de A:
[latex]\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Acha-se a matriz:
[latex]\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{-1}{12} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}[/latex]
Finalmente:
[latex]X = 12.\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{-1}{12} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]X = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}[/latex]
Que possui determinante 7*7 - 1*(-1) = 50
João Pedro Lima- Jedi
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