Cilindro

por Eduardo12345 Qui 03 Mar 2022, 23:46

O cilindro equilátero está inscrito na semiesfera. Indique a razão que existe entre seus volumes.

a) [latex]\frac{1}{2}[/latex]

b) [latex]\frac{3\sqrt{5}}{25}[/latex]

c) [latex]\frac{2\sqrt{5}}{15}[/latex]

d) [latex]\frac{2}{\sqrt{5}}[/latex]

e) [latex]\frac{3}{7}[/latex]

R:b

por **Giovana Martins** Sex 04 Mar 2022, 21:12

Ao meu ver, este enunciado está bem ruim. Ele deixa a cargo "leitor" a responsabilidade de assumir várias situações.

Sendo o cilindro equilátero, logo, AR=MI=AM=RI=Φ.

Sejam O e r, o centro e o raio da semiesfera, respectivamente.

[latex]\\\mathrm{V_{Cilindro}=\pi \times R_{Cilindro}^2\times H=\pi \times \left ( \frac{\phi }{2} \right )^2\times H=\frac{1}{4}\times \pi \times \phi ^2\times \phi=\frac{1}{4}\times \pi \times \phi ^3}\\\\\mathrm{Do\ \bigtriangleup AOM:\ r=\overline{AO}=\sqrt{\overline{OM}^2+\overline{AM}^2}\to AO=\sqrt{\left ( \frac{\phi }{2} \right )^2+\phi ^2}=\frac{1}{2}\times \phi \times \sqrt{5}}\\\\\mathrm{V_{Semiesfera}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times \pi \times r^3=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times \pi \times \left ( \frac{1}{2}\times \phi \times \sqrt{5} \right )^3= \frac{5}{12}\times \pi \times \phi ^3\times \sqrt{5}}\\\\\mathrm{\frac{V_{Cilindro}}{V_{Semiesfera}}=\frac{1}{4}\times \pi \times \phi ^3\times \frac{12}{5}\times \frac{1}{\pi }\times \frac{1}{\phi ^3}\times \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\times \sqrt{5}}{25}}[/latex]