Cilindro

Oiii. Eu fiz um ligeiro esboço da resolução, entretanto, ainda não obtive uma resposta (mas devo ter errado algo. Ainda não revisei os cálculos). Infelizmente eu não consigo mais mexer nos cálculos por hoje, apenas no fim de semana. Peço que tenha paciência até lá caso você não consiga finalizar o exercício por si só ou então caso nenhum membro tente resolver o problema até lá.



Seja O o ponto que corresponde ao centro do círculo que determina a base superior do cilindro. O arco NOL mede 60°, pois ele "enxerga" o arco NL. Logo, pela Lei dos Cossenos no ∆NOL:

[latex]\mathrm{\overline{NL}^2=\overline{ON}^2+\overline{OL}^2-2\times \overline{ON}\times \overline{OL}\times cos\left (\widehat{NOL} \right ),com\ ON=OL=R}[/latex]

[latex]\\\\\mathrm{\overline{NL}=\sqrt{2\times R^2\times [1-cos(120^{\circ})]}=\sqrt{2\times (2)^2\times \left ( 1+\frac{1}{2} \right )}=2\times \sqrt{3}}[/latex]

Seja C o ponto que corresponde ao centro do círculo que determina a base inferior do cilindro. O arco KCS mede 60°, pois ele "enxerga" o arco KS. Logo, pela Lei dos Cossenos no ∆KCS (análogo ao cálculo anterior):

[latex]\\\\\mathrm{\overline{KS}=\sqrt{2\times R^2\times [1-cos(60^{\circ})]}=\sqrt{2\times (2)^2\times \left ( 1-\frac{1}{2} \right )}=2}[/latex]

Seja M o ponto médio do segmento LN, logo, do ∆OML:

[latex]\\\mathrm{tan(60^{\circ})=\frac{\overline{NL}}{2\times \overline{OM}}\to \overline{OM}=\frac{2\times \sqrt{3}}{2\times \sqrt{3}}=1}[/latex]

Seja Q o ponto médio do segmento KS, logo, do ∆CQS:

[latex]\\\mathrm{tan(30^{\circ})=\frac{\overline{KS}}{2\times \overline{QC}}\to \overline{QC}=\frac{2}{2\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}}[/latex]

Seja a perpendicular baixada do ponto O até o ponto C, a qual possui a mesma medida da geratriz do cilindro. Seja I o ponto de intersecção do segmento OC com a superfície NLKS. Pelo critério A.A.A., ∆MOI ~ ∆CQI. Seja OI = x, portanto, CI = OC - x. Da semelhança ∆MOI ~ ∆CQI:

[latex]\\\mathrm{\frac{\overline{OI}}{\overline{CI}}=\frac{\overline{OM}}{\overline{QC}}\to \frac{x}{2\times (1+\sqrt{3})-x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{\overline{OI}=x=2}\\ \mathrm{\overline{CI}=2\times (1+\sqrt{3})-x=2\times \sqrt{3}} \end{matrix}\right.}[/latex]

Por Pitágoras nos ∆MOI e ∆CQI:

[latex]\\\mathrm{\overline{MI}=\sqrt{\overline{OM}^2+\overline{OI}^2}=\sqrt{(1)^2+(2)^2}=\sqrt{5}}[/latex]

[latex]\\\mathrm{\overline{QI}=\sqrt{\overline{QC}^2+\overline{CI}^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(2\times \sqrt{3})^2}=\sqrt{15}}[/latex]

[latex]\\\mathrm{A_{NLKS}=\frac{\left ( \overline{NL}+\overline{KS} \right )\times \left ( \overline{MI} +\overline{QI}\right )}{2}=\sqrt{5} \times \left ( 1+\sqrt{3} \right )^2}[/latex]

Tô mega enrolada, Medeiros. A propósito, quanto tempo eu não te vejo por aqui!

Eu usei apenas algumas semelhanças de triângulos. Quando eu puder (fim de semana) eu posto umas imagens.

Medeiros, postei uma imagem (peço perdão, pois não ficou muito boa). Se possível, poste a sua resolução, por favor. Sigo sem encontrar erros.

Medeiros escreveu:Giovana,

não respondi antes porque estes meus dias têm sido muito atarefados e cansativos; ou eu desfrutava do meu laser e higiene mental que é vir ao fórum ou desfrutava de ao menos 5 horas de sono -- e na minha idade isso é imprescindível.

Como disse antes, não há nada errado na sua resposta. Rabisquei agora as contas que tinha feito antes e chegam a mesma resposta. A propósito, inicialmente eu não tinha entendido aquele "chapeuzinho" (acento grave) sobre NL e KS do enunciado e não respondi, só depois da sua resposta percebi que era arco.

Entendido. Entendido. Obrigada por postar a resolução, Medeiros. Deve ser erro de gabarito mesmo.

A propósito, esta questão me parece ser de livro peruano. Se for isso, é até normal a imprecisão de gabaritos.