[Sistema de equações]

Resolva o sistema de equações abaixo.









*Não tenho gabarito e a questão não possui alternativas.

Na 1ª ---> 3.x.y = 2.x + 2.y ---> y.(3.x - 2) = 2.x ---> y = 2.x/(3.x - 2) ---> I

Na 2ª ---> 4.x.z = 3.x + 3.z ---> z.(4.x - 3) = 3.x ---> z = 3.x/(4.x - 3) ---> II

Na 3ª ---> substitua y, z por I e II e calcule x --->Depois calcule y , z em I e II

Bom dia;

Reorganizando o sistema para x, y e z, e considerando todas essas variáveis diferentes de 0:

[latex]\frac{3xy}{x+y} =2 \implies\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{2} \implies (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{y}) = \frac{3}{2}, \text{ }x \neq -y, \text{ }x \neq 0, \text{ }y \neq 0[/latex]

[latex] \frac{4xz}{x+z} = 3 \implies \frac{x +z}{xz} = \frac{4}{3} \implies (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{z}) = \frac{4}{3}, \text{ } x \neq - z, \text{ } x \neq 0, \text{ } z \neq 0[/latex]

[latex] \frac{5yz}{y+z} = 6 \implies \frac{y +z}{yz} = \frac{5}{6} \implies (\frac{1}{y}) + (\frac{1}{z}) = \frac{5}{6}, \text{ } y \neq -z, \text{ } y \neq 0, \text{ } z \neq 0[/latex]

Tente resolver as variáveis 1/x, 1/y e 1/z.

Por fim, basta analisar os casos onde ao menos um dos valores x, y e z são nulos:

(I)Se x =0
(II)Se y= 0
(III)Se z= 0

Bons estudos

[latex]\frac{3xy}{x+y}=2\Leftrightarrow 3xy=2x+2y\Leftrightarrow 3xy-2x=2y\Leftrightarrow x.(3y-2)=2y \\ \\ \\ \frac{4xz}{x+z}=3\Leftrightarrow 4xz=3x+3z\Leftrightarrow 4xz-3x=3z\Leftrightarrow x.(4z-3)=3z \\ \\ \\ \frac{5yz}{y+z}=6\Leftrightarrow 5yz=6y+6z \Leftrightarrow 5yz-6y=6z\Leftrightarrow y.(5z-6)=6z \\ \\ \\ [/latex]

Substituindo x na segunda equação, vem:
[latex]\frac{2y.(4z-3)}{3y-2} = 3z\Leftrightarrow 8yz - 6y = 9yz-6z\Leftrightarrow yz+6y=6z [/latex] 

Igualando o resultado acima com a terceira equação vem:
[latex]yz+6y = y.(5z - 6)\Leftrightarrow yz + 6y = 5yz - 6y\Leftrightarrow 4yz-12y=0\Leftrightarrow y.(4z-12)=0\Leftrightarrow y=0\vee z=3[/latex]

Desses valores possíveis, somente z = 3 é solução, substitua e encontrará S = (1, 2, 3).

Muito obrigado, colegas. Mais tarde vou tentar resolver usando as ideias do mestre Elcioschin e do joaoZacharias e posto aqui para complementar o tópico. 

Novamente agradeço o auxílio de todos.