Soluções reais de polinomio com coeficientes complexos
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Soluções reais de polinomio com coeficientes complexos
por UmPoetaEufórico Dom 16 Jan 2022, 15:21
Verifique que o polinômio [latex]p(z) = (-9 -3i)z^5 + (9+3i)z^4 + (24+8i)z^3 + (81+12i)z^2 + (117+29i)z +150[/latex] não admite raízes reais .
Última edição por UmPoetaEufórico em Seg 17 Jan 2022, 21:54, editado 1 vez(es)
UmPoetaEufórico- Padawan
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Re: Soluções reais de polinomio com coeficientes complexos
por joaoZacharias Dom 16 Jan 2022, 17:32
Olá UmPoetaEufórico;
Supondo que existe uma raiz real, vamos separar as partes real e imaginária do polinômio:
[latex] (-9 -3i)z^5 + (9+3i)z^4 + (24+8i)z^3 + (81+12i)z^2 + (117+29i)z +150 = 0
(-9z^5 + 9z^4 + 24 z^3+ 81z^2 +117z + 150)+ i(-3z^5+ 3z^4 +8z^3 + 12z^2 + 29z) =0 +0i
(-9z^5 + 9z^4 + 24 z^3+ 81z^2 +117z + 150) = 0
(-3z^5+ 3z^4 +8z^3 + 12z^2 + 29z) = 0
[/latex]
Então z deve ser raiz dos dois polinômios acima, calcule o mdc deles e mostre que ou não existem raízes em comum ou que as raízes em comum não são reais.
Bons estudos
Supondo que existe uma raiz real, vamos separar as partes real e imaginária do polinômio:
[latex] (-9 -3i)z^5 + (9+3i)z^4 + (24+8i)z^3 + (81+12i)z^2 + (117+29i)z +150 = 0
(-9z^5 + 9z^4 + 24 z^3+ 81z^2 +117z + 150)+ i(-3z^5+ 3z^4 +8z^3 + 12z^2 + 29z) =0 +0i
(-9z^5 + 9z^4 + 24 z^3+ 81z^2 +117z + 150) = 0
(-3z^5+ 3z^4 +8z^3 + 12z^2 + 29z) = 0
[/latex]
Então z deve ser raiz dos dois polinômios acima, calcule o mdc deles e mostre que ou não existem raízes em comum ou que as raízes em comum não são reais.
Bons estudos
joaoZacharias- Recebeu o sabre de luz
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Re: Soluções reais de polinomio com coeficientes complexos
por UmPoetaEufórico Seg 17 Jan 2022, 14:07
O mdc dos polinômios [latex]A(z) = -9z^5 + 9z^4 + 24 z^3+ 81z^2 +117z + 150 [/latex] e [latex]B(z) =-3z^5+ 3z^4 +8z^3 + 12z^2 + 29z [/latex] divide o polinômio [latex] C(z) = A(z) -3B(z) = 15(3z^2+ 2z+10) [/latex].
Como o discriminante de C(z) é negativo, [latex]\Delta = 4\cdot 15^2\cdot(1- 3\cdot10)[/latex], C(z) não possui raízes reais. Se existirem ráizes em comum aos polinômios A e B elas serão complexas não reais.
Obrigado colega João
Como o discriminante de C(z) é negativo, [latex]\Delta = 4\cdot 15^2\cdot(1- 3\cdot10)[/latex], C(z) não possui raízes reais. Se existirem ráizes em comum aos polinômios A e B elas serão complexas não reais.
Obrigado colega João
UmPoetaEufórico- Padawan
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