Soma de funções inversas

Sejam [latex] h(x)[/latex] e [latex]f_i(x)[/latex] funções inversíveis para todo i com [latex]1 \le i \le n[/latex] onde n é um natural superior a zero. Dado [latex]h(x) = (\sum\limits_{i=1}^{\mbox{n}}f_i )[/latex], prove que existe ao menos uma n-upla [latex] (k_1,k_2, k_3...k_{n-1},k_n) [/latex] que satisfaça:

[latex]h^{-1}(x) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{\mbox{n}}f^{-1}_i(k_i)}{n} [/latex]

Sugestão: analise os valores mais simples de n.
Obs: Todos os expoentes ^-1 se referem a funções inversas.

Olá UmPoetaEufórico,

acredito que a grande sacada aqui é usar a identidade [latex](g^{-1} o\text{ } g)(x) = x[/latex], suponha que cada [latex] k_i = f_i(y_i) [/latex]. Assim o somatório reduz para:

[latex]n \cdot h^{-1}(x) = \sum\limits_{i=1}^{\mbox{n}}y_i[/latex]

Tenta manipular o valor dos y_i para formar a igualdade.
Mais um detalhe importante, não esqueça de verificar se os y_i estão no domínio de cada respectiva função [latex]f_i[/latex].

Nesse caso eu achei a n-upla [latex](f_1(h^{-1}(x)), f_2(h^{-1}(x)) ... f_{n-1}(h^{-1}(x)),f_n(h^{-1}(x)))[/latex], mas os k_i tomam forma de função.O valor de h^-1(x) pertence ao domínio de h para todo x, então pela definição de h pertence a cada um dos domínios das funções f_i que são iguais. Seria isso mesmo?

Desde já agradeço a ajuda

UmPoetaEufórico escreveu:Nesse caso eu achei a n-upla [latex](f_1(h^{-1}(x)), f_2(h^{-1}(x)) ... f_{n-1}(h^{-1}(x)),f_n(h^{-1}(x)))[/latex], mas os k_i tomam forma de função.O valor de h^-1(x) pertence ao domínio de h para todo x, então pela definição de h pertence a cada um dos domínios das funções f_i que são iguais. Seria isso mesmo?

Desde já agradeço a ajuda

Creio que essa seja a resposta mesmo. Apesar de parecer estranho as n-uplas serem uma ordenação de funções em x dado a forma que o enunciado foi elaborado, seria ainda mais se elas fossem todas constantes. Se essa última fosse verdade, [latex]h^{-1}(x) [/latex] seria constante e, portanto, não injetiva desde que possuisse aos menos dois elementos em seu domínio. Se não for injetiva, muito menos será inversível e, por consequência, [latex]h(x)[/latex] não será definível. O que é um absurdo uma vez que [latex]h^{-1}(x) [/latex] foi proposta a partir de [latex]h(x)[/latex]. Concluindo: ao menos um termo da n-upla deverá ser não constante.