eear 2001-circunferência

por rginavitori@ Qui 30 Set 2021, 17:47

Considere as circunferências que passam pelos pontos (0 , 0) e (2, 0) e que são tangentes á reta y = x + 2 as coordenadas dos centros dessas circunferências são
a)(1 ,1) e (1, -7)
b)(1,1) e (-7, 1)
c)(1, -7) e (1, 7)
d)(1 , -7) e (-1 . 7)

por Edu lima Qui 30 Set 2021, 23:24

Vamos utilizar a equação reduzida da circunferência. Em que as coordenadas do centro é (a,b).

A questão afirmou que, as coordenadas (0,0) e (2,0) são pontos pertencente a equação da circunferência.

A equação reduzida é:

[latex](x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}[/latex]

Substituindo os pontos: (0,0) e (2,0), fica:

I. [latex](0-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=r^{2}[/latex]

II. [latex](2-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2} \Rightarrow 2^{2}-2*2*(a)+a^{2}+b^{2}=r^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}-4a+4=r^{2}[/latex]

Como r²=r², substituindo tudo, teremos:

[latex]a^{2}+b^{2}-4a+4=a^{2}+b^{2} \Rightarrow 4a=4 \Rightarrow a=1[/latex]

Logo, [latex]a^{2}+b^{2}=r^{2} \Rightarrow 1+b^{2}=r^{2}[/latex]

Mas, como a reta é tangente a circunferência, vamos calcular a distância da reta ao ponto do centro.

Ficando:

x-y+2=0

Distância da reta ao ponto do centro é igual ao raio. Assim,

[latex]r=\frac{\mid a*x_{p}+b*y_{p}+c\mid }{\sqrt{xp^{2}+yp^{2}}[/latex]

[latex] r=\frac{\mid 1*1-1*b+2\mid }{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}[/latex]

[latex]\frac{\mid 3-b\mid }{\sqrt{2}}=r \Rightarrow \mid 3-b\mid =\sqrt{2}*r[/latex]

Elevando os dois lados quadrado, fica:

9-6b+b²=2r², mas sabemos que 1+b²=r²

Manipulando as duas equações, vc vai chegar em: b=1 e b=-7

As coordenas ficam:

(1,1) e (1,-7)