Triângulo inscrito no círculo

Um triângulo equilátero está inscrito em um círculo de raio 21cm. Calcular a medida do raio do círculo que é tangente a dois de seus lados e a esse círculo.



Gabarito: 10,5cm
*Não consegui fazer o desenho geométrico, se possível mandar uma resolução com imagem.

Uma figura, para ajudar. Sugiro usar GA.

Elcioschin escreveu:Uma figura, para ajudar. Sugiro usar GA.

Obrigado pela ajuda, mestre. Eu não sei Geometria Analítica ainda, estudo somente para a EPCAr.

De qualquer forma, vou tentar adaptar essa solução para a matemática de ensino fundamental II. Muitíssimo obrigado.

Então use Geometria Plana.

se R = 21, o gabarito não pode ser r = 10,5 = R/2 -- isto é impossível.

o gabarito correto é r = 2R/3 = 14

por geom. plana esta é a tal coisa que é mais longa de explicar do que resolver... quase não tem conta pra fazer.

Existe um círculo β, de raio R = 21, no qual está inscrito um triângulo equilátero ABC, conforme desenho. E existe um círculo γ, de raio r=?, que tangencia β e AB e AC; e queremos a medida de r.


traçamos, para referência, o diâmetro AM.
G = baricentro = circuncentro = ortocentro de ABC
Traçamos a tangente a β passando por M e prolongamos AB e AC até D e E, respectivamente. Em consequência o triângulo ADE também é equilátero do qual γ é círculo inscrito que tangencia ADE nos pontos M, N e P. Seja O o centro de γ.

Mas os pontos de tangência do círculo inscrito em um triângulo equilátero o tocam no ponto médio dos seus lados. Portanto os lados de MNP são as bases médias de ADE; e portanto MNP inscrito em γ também é equilátero. Lembrando que G é o ponto médio de AM (= 2R), sabemos que NP passa por G.

GM = R é também altura de MNP.
O ponto O, centro de γ, é circuncentro e baricentro de MNP. Logo

Medeiros escreveu:por geom. plana esta é a tal coisa que é mais longa de explicar do que resolver... quase não tem conta pra fazer.

Existe um círculo β, de raio R = 21, no qual está inscrito um triângulo equilátero ABC, conforme desenho. E existe um círculo γ, de raio r=?, que tangencia β e AB e AC; e queremos a medida de r.


traçamos, para referência, o diâmetro AM.
G = baricentro = circuncentro = ortocentro de ABC
Traçamos a tangente a β passando por M e prolongamos AB e AC até D e E, respectivamente. Em consequência o triângulo ADE também é equilátero do qual γ é círculo inscrito que tangencia ADE nos pontos M, N e P. Seja O o centro de γ.

Mas os pontos de tangência do círculo inscrito em um triângulo equilátero o tocam no ponto médio dos seus lados. Portanto os lados de MNP são as bases médias de ADE; e portanto MNP inscrito em γ também é equilátero. Lembrando que G é o ponto médio de AM (= 2R), sabemos que NP passa por G.

GM = R é também altura de MNP.
O ponto O, centro de γ, é circuncentro e baricentro de MNP. Logo

r = OM = (2/3).GM
r = (2/3).R = (2/3).21 = 14 cm

Muito bom, mestre!!!!! Muitíssimo grato pela moral.