Teoria dos números
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Teoria dos números
por GustavoValente Ter 06 Jul 2021, 18:21
Prove que, para todo inteiro positivo n, existem n inteiros positivos consecutivos, nenhum dos quais ́e potencia de primo.
GustavoValente- Iniciante
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Re: Teoria dos números
por SilverBladeII Ter 06 Jul 2021, 19:14
Seja N>>n+1 um inteiro.
Temos então que N! é divisivel por k², para todo n+1≥k≥2.
Portanto N!+k=k(N!/k+1)=k(km+1), para algum inteiro m. Como mdc(k, km+1) =1 e k>1, k(km+1) não pode ser a potencia de um primo.
Assim, N!+2, N!+3, ..., N!+n+1 são n numeros consecutivos que não são potencias de primos.
Temos então que N! é divisivel por k², para todo n+1≥k≥2.
Portanto N!+k=k(N!/k+1)=k(km+1), para algum inteiro m. Como mdc(k, km+1) =1 e k>1, k(km+1) não pode ser a potencia de um primo.
Assim, N!+2, N!+3, ..., N!+n+1 são n numeros consecutivos que não são potencias de primos.
SilverBladeII- Matador
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GustavoValente- Iniciante
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