Congruências
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Congruências
por Perceval Sex 23 Abr 2021, 22:14
Seja [latex]f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/latex]um polinômio com coeficientes inteiros onde [latex]a_n>0,n\geqslant 1[/latex]. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da variável x.
Perceval- Recebeu o sabre de luz
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Re: Congruências
por SilverBladeII Dom 02 maio 2021, 00:31
Se p é um polinomio de coef inteiros e [latex]a \equiv b \pmod{m}[/latex] então
[latex]p(a) \equiv p(b) \pmod{m}[/latex]
Seja r o primeiro inteiro positivo para o qual [latex]p(r)\neq \pm 1[/latex]. Tome um primo qualquer que divida p(r), digamos, q. Nesse caso
[latex]p(kq+r)\equiv p(r) \equiv 0 \pmod{p}[/latex], para todo k inteiro. Como p não é constante, existem no máximo 2n inteiros [latex]x_i[/latex] tq [latex]p(x_i)=\pm q[/latex], de forma que para infinitos k temos que
[latex]\pm q\neq p(kq+r)\equiv 0 \pmod{q}[/latex], e temos o que queríamos
[latex]p(a) \equiv p(b) \pmod{m}[/latex]
Seja r o primeiro inteiro positivo para o qual [latex]p(r)\neq \pm 1[/latex]. Tome um primo qualquer que divida p(r), digamos, q. Nesse caso
[latex]p(kq+r)\equiv p(r) \equiv 0 \pmod{p}[/latex], para todo k inteiro. Como p não é constante, existem no máximo 2n inteiros [latex]x_i[/latex] tq [latex]p(x_i)=\pm q[/latex], de forma que para infinitos k temos que
[latex]\pm q\neq p(kq+r)\equiv 0 \pmod{q}[/latex], e temos o que queríamos
SilverBladeII- Matador
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