Conjuntos

Seja um conjunto de números naturais X = {1, 2, 3, ..., k}, com k elementos. Se retirarmos um número do conjunto X, a média aritmética dos elementos que restam é 16,4. Sabendo que w é o número que foi retirado, determine o valor de |w - k|:

a) 25
b) 27
c) 30
d) 31
e) 32

{1, 2, 3, ..., k-3, k-2, k-1, k}

Se você perceber isso é uma progressão aritmética, portanto a sua soma se dá por:

S = (1+ k)k/2

A média aritmética retirando o termo w:

M = ((1+ k)k/2 - w)/(k-1) = 16,4

(k² + k - 2w)/(2k-2) = 164/10

(k² + k - 2w)/(2k-2) = 164n/10n com n ∈ ℕ.

Sabemos que o denominador tem que ser natural pelo fato de k ser natural, portanto:

2k - 2 = 10n
k = 5n + 1

Possíveis valores para k: 6, 11, 16, 21, ..., 5n +1

Sabemos que o numerador tem que ser natural pelo fato de k e w serem naturais, portanto:

k² + k - 2w = 164n
(5n + 1)² + (5n + 1) - 164n = 2w
25n² + 10n +1 + 5n + 1 - 164n = 2w
25n² -149n + 2 = 2w

Para n = 1 --> w não é natural.
Para n = 2 --> w não é natural.
Para n = 3 --> w não é natural.
Para n = 4 --> w não é natural.
Para n = 5 --> w não é natural.
Para n = 6 --> w é natural e vale 4.

Testando para n = 6:

k = 5n + 1 = 5*6 + 1 = 31

|w - k| = |4 - 31| = 27

Letra b)