Recorrências

Pessoal, existe alguma maneira de fazer este problema sem ter que fatorar toda a expressão passo-a-passo? 

Seja [latex]\alpha[/latex] a maior raiz de [latex]x^2+x-1=0[/latex]. Determine o valor de [latex]\alpha^5-5\alpha[/latex].


Gabarito: -3

x² + x - 1 = 0 ---> maior raiz: a = √5/2 - 1/2

a² = (√5/2 - 1/2)² = 5/4 + 1/4 - √5/2 = 3/2 - √5/2

a⁴ = (3/2 - √5/2)² = 9/4 + 5/4 - 3√5/2 = 7/2 - 3√5/2

a⁵ - a = a.(a⁴ - 1) =

(√5/2 - 1/2).(7/2 - 1 - 3√5/2) = (√5/2 - 1/2).(5/2 - 3√5/2) 

Confira as contas e complete

"sem ter que fatorar toda a expressão"? Sim, tem. Mas precisamos ter em mente a ferramenta abaixo descrita.

x² + x - 1 = 0 ........ maior raiz = (√5 - 1)/2
como essa raiz é a razão áurea, em vez de alfa vou chamar de phi -----> [latex]\varphi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}[/latex]


e tenhamos em mente que para esse 0 < φ < 1 vale a seguinte relação ------> [latex]\boxed{\,\,\varphi^{n} = \varphi^{n-2}-\varphi^{n-1}\,\,}[/latex]

então, montamos a sequência:
φ⁰ = 1
φ¹ = φ
φ² = φ⁰ - φ¹ = 1 - φ
φ³ = φ¹ - φ² = φ - 1 + φ = -1 + 2φ
φ⁴ = φ² - φ³ = 1 - φ + 1 - 2φ =  2 - 3φ
φ⁵ = φ³ - φ⁴ = -1 + 2φ - 2 + 3φ = -3 + 5φ


agora fica fácil a resposta do exercício:

φ⁵ - 5φ = -3 + 5φ - 5φ = -3

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obs:  a relação citada acima dentro da caixa vale para as potências positivas deste nº áureo (≈ 0,618). Para as potências negativas, assim como para o outro nº áureo (≈ 1, 618) as relações são ligeiramente diferentes. Contudo todas são compostass pelos nºs da série de Fibonacci.

tem um modo fácil de lembrar como formar as potências da razão áurea, basta lembrar da formação da série de Fibonacci:

seja φ a razão áurea; vamos fazer uma fila com as suas potências:


sempre, da esquerda para a direita, podemos aplicar a formação da série de Fibonacci da seguinte forma:


este segundo caso é equivalente a fazermos a leitura da sequência de Fibonacci da direita para a esquerda, ou seja
φ^n-2 = φⁿ + φ^n-1  ------>  φⁿ = φ^n-2 - φ^n-1

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como φ⁰ = 1 e φ¹ = φ , fica relativamente fácil obter a série de potências sem fazer contas com raiz quadrada e racionalização.

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por exemplo, se queremos φ^-4 (para o caso 1,618) basta fazer
φ^-2 = φ^-4 + φ^-3 -------> φ^-4 = φ^-2 - φ^-3