Sistemas de equaçõess
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Sistemas de equaçõess
por Perceval Dom 21 Mar 2021, 17:41
Quantas triplas ordenadas (x,y,z) de inteiros satisfazem o sistema de equações abaixo?
[latex] x^2-3xy+2y^2-z^2=31 [/latex][latex]-x^2+6yz+2z^2=44[/latex]
[latex] x^2+xy+8z^2=100[/latex]
Gabarito: 0
Eu consegui chegar até [latex](x+y)^2+(y+3z)^2+z^2=175[/latex] (somando as três equações e ''juntando'' os produtos notáveis), e agora?
Última edição por Perceval em Seg 22 Mar 2021, 10:12, editado 1 vez(es)
Perceval- Recebeu o sabre de luz
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Re: Sistemas de equaçõess
por ruanramos Seg 22 Mar 2021, 01:55
Somando-se tudo:
x² - 2xy + 2y² + 6yz + 9z² = 175
(x² - 2xy + y²) + (y² + 6yz + 9z²) = 175
(x - y)² + (y + 3z)² = 175
Fazendo
x-y = W e y+3z = Q
W² + Q² = 175
decompondo 175 = (5².7)
quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16,...,121.
somando alguns deles
1+4 = 5
4+9 = 13
9+16= 25
16+25= 41
.......
somando qualquer um deles, nenhum dará 175, ou seja, a expressão que chegamos ao fatorar não é verdadeira, sendo um Sistema Impossível.
Acredito que seja isso.
x² - 2xy + 2y² + 6yz + 9z² = 175
(x² - 2xy + y²) + (y² + 6yz + 9z²) = 175
(x - y)² + (y + 3z)² = 175
Fazendo
x-y = W e y+3z = Q
W² + Q² = 175
decompondo 175 = (5².7)
quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16,...,121.
somando alguns deles
1+4 = 5
4+9 = 13
9+16= 25
16+25= 41
.......
somando qualquer um deles, nenhum dará 175, ou seja, a expressão que chegamos ao fatorar não é verdadeira, sendo um Sistema Impossível.
Acredito que seja isso.
ruanramos- Recebeu o sabre de luz
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