Semelhança de triângulos

por duddaflor Dom 28 Fev 2021, 12:15

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo divide a hipotenusa em partes proporcionais a 2 e 3.Se um cateto do triângulo mede 18 cm, quanto mede o outro?

Gostaria de uma resolução bem explicada. Agradeço desde já.

Não sei se esse assunto se encaixa nesse tópico, peço desculpas caso tenha errado.

por **Elcioschin** Dom 28 Fev 2021, 21:01

Sejam 2.x e 3.x as projeções dos catetos sobre a hipotenusa:

a = 2.x + 3.x = 5.x
b = 18
c = ?

a² = b² + c² ---> (5.x)² = 18² + c² ---> I

h² = (2.x).(3.x) ---> h² ---> 6.x² ---> h = x.√6 ---> II

a.h = b.c ---> (5.x).h = 18.c ---> 5.x.h = 18.c ---> III

Complete

por duddaflor Seg 01 Mar 2021, 04:50

Acho que não consegui fazer.
Fiz:
5.x.(x.raiz de 6)=18.c
(5x)ao quadrado.5x.raiz de 6=18.c
(5x)ao quadrado.(5x) ao quadrado.6=18.c
(5x)ao quadrado.(5x) ao quadrado=18.c/6
(18+c ao quadrado).(18+c ao quadrado)=3.c

depois disso não consigo sair

por **Baltuilhe** Seg 01 Mar 2021, 12:33

Boa tarde!

Uma maneira de se resolver:
[latex]a=2x+3x=5x[latex]

O problema é saber qual das partes proporcionais refere-se ao cateto: 2x ou 3x.

Hipótese 1: b=2x
[latex]18^2=(2x).(5x)[latex]

[latex]x^2=\frac{18^2}{10}[latex]

Dai, temos a hipotenusa, e um dos catetos. Para obter o outro:
[latex]c^2=(3x).(5x)[latex]

[latex]c^2=15x^2[latex]

[latex]c^2=15\cdot\frac{18^2}{10}[latex]

[latex]c=18\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}[latex]

[latex]\boxed{c=9\sqrt{6}}[latex]

Hipótese 2: b=3x
[latex]18^2=(3x).(5x)[latex]

[latex]x^2=\frac{18^2}{15}[latex]

Dai, temos a hipotenusa, e um dos catetos. Para obter o outro:
[latex]c^2=(2x).(5x)[latex]

[latex]c^2=10x^2[latex]

[latex]c^2=10\cdot\frac{18^2}{15}[latex]

[latex]c=18\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}[latex]

[latex]\boxed{c=6\sqrt{6}}[latex]

Espero ter ajudado!