Força Elétrica e Força Magnética

Uma partícula de carga q = -e, de massa m, é acelerada a partir do repouso, por um campo elétrico constante de módulo E que aponta no sentido negativo do eixo x, atuando, apenas, na região 1 da figura a seguir. Na região 2, atua somente um campo magnético constante, de módulo B que aponta para fora do plano do papel. 

Determine a relação que garante o menor valor possível do módulo do campo magnético B para que a partícula não atinja a região x > 2d. 

 
a) edB² = 2mE 
b) edB² = mE/2 
c) edB² = mE/4 
d) B² = E 
e) B² = 2E 

Gabarito: A

-> Tentei fazer por Força elétrica = Força magnética mas não consegui desenvolver a fórmula para chegar a uma das alternativas e, depois de um tempo, questionei-me o porquê de estar igualando ambas as forças e não consegui chegar a uma explicação. Agradeço de coração a quem puder elucidar essa questão, obrigado.

Desprezando o efeito gravitacional e fazendo utilizando q no lugar de e para o valor absoluto da carga, vamos analisar primeiro a região 1:

Nela só ocorre a força elétrica horizontal, no sentido positivo de x, assim

[latex]F_{el} = F_{r} \therefore Eq = ma \therefore a = \frac{Eq}{m}[/latex]

A velocidade ganha pela partícula até chegar a região 2 pode ser calculada por:

[latex]V^{2} = V_{0}^{2} + 2ad \therefore V^{2} = \frac{2Eqd}{m} \therefore V = \sqrt{\frac{2Eqd}{m}}[/latex] [latex](I)[/latex]

Agora vamos analisar a região 2.

A força magnética fará com que a partícula possua uma trajetória circular. Assim, pensemos quando ela tangencia x = 2d, ou seja, o raio da trajetória circular é r = 2d-d = d.

Aplicando a 2^a lei de Newton:

[latex]F_{m} = F_{r} \therefore qVB*1 = m*a_{ctp} \therefore qVB = \frac{mV^{2}}{d} \therefore B = \frac{mV}{dq}[/latex]


Substituindo [latex](I)[/latex] aqui

[latex]B = \frac{m}{dq}*\sqrt{\frac{2Eqd}{m}} \therefore B^{2} = \frac{m^{2}}{d^{2}q^{2}}*\frac{2Eqd}{m} \therefore B^{2} = \frac{2mE}{dq} \therefore B^{2}dq = 2mE[/latex]

 (letra A)