Geometria Espacial

Num cubo de aresta 12 cm, determine a distância do vértice C ao triângulo BDG

Olá Cristina!
Veja a seguinte figura ilustrativa do problema:



Veja que o triângulo BDG é equilátero e que o vértice C equidista dos vértice B, D e G. Portanto, a projeção I do vértice C sobre o triângulo BDG é o circuncentro do triângulo, que é igual ao baricentro, já que este é equilátero. Deste modo, pegando o triângulo CIG, retângulo em I, teremos que o cateto GI é 2/3 da altura do triângulo equilátero (L√3/2), onde L é o lado do triângulo BDG (a√2). Logo:

CG² = GI² + CI²
a² =  [(a√2).√3/3]² + CI² → CI = a.√3/3 = 4.√3 cm

Esse resultado pode ser generalizado, nos dando uma informação bastante interessante. Veja a seguinte figura:



Como já calculamos: CI = a√3/3, onde a é a aresta do quadrado. traçando EJ, simetricamente a CI, teremos que EJ = CI = a√3/3. Além disso, EC = a√3. Logo conclui-se que EJ = JI = IC = a√3/3, de forma que os triângulos BDG e AFH cortam perpendicularmente a diagonal EC em 3 partes iguais (isso sempre vai valer para um cubo).

Oi Vitor, bom dia

Acabei de fazer de um outro jeito parecido com o seu e cheguei ao mesmo resultado. 
Muito Obrigada. Valeu a ajuda