Retângulo áureo

Como demonstrar que um retângulo de lados (2a-3b) e (5b-3a) é áureo?

Olá Letycarol090295!
Antes de tudo precisamos saber a definição de um retângulo áureo. Veja:

"Trata-se de um caso de retângulo em que ao dividir a base pela sua altura, obtêm-se o valor [latex]\\\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cong1,618[/latex]. Esse número é chamado de número de ouro ou razão áurea."

vamos dividir a base pela altura:

[latex]\\R=\frac{2a-3b}{5b-3a}=\frac{2\frac{a}{b}-3}{5-3\frac{a}{b}}[/latex]

Veja que o retângulo não é necessariamente áureo e que a razão R só dá a razão áurea para um determinado valor de a/b. Vamos encontrar esse valor:

[latex]\\R=\frac{2\frac{a}{b}-3}{5-3\frac{a}{b}}=\Phi\\\\ \rightarrow\;\frac{a}{b}=\frac{5\Phi+3}{2+3\Phi}=\frac{11+5\sqrt{5}}{7+3\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi [/latex]

Veja portanto que o retângulo é áureo se e somente se a razão a/b é áurea.