SIMULADO ENEM POLIEDRO

Inventado por Piet Hein e John Nash, o Polygon, ou Hex, é um jogo de tabuleiro que possui a forma de um losango composto de casas hexagonais regulares. Há muitas versões para o jogo, que diferem em relação ao número de casas do tabuleiro, iniciando pela 5 × 5. As versões mais populares são a 11 × 11, 13 × 13 e 19 × 19, embora o matemático norte-americano John Nash defendesse a versão 14 × 14 como sendo a ideal. A figura a seguir mostra um tabuleiro de Hex na versão 11 × 11.



Um marceneiro possui um modelo desse tabuleiro 11 × 11 em que cada casa hexagonal tem 3 cm de lado e cada lado da moldura em forma de losango mede 60 cm. Ele deseja construir outro tabuleiro, semelhante ao primeiro, com casas hexagonais de apenas 2 cm de lado, mas na versão defendida pelo matemático norte-americano. Para isso, o marceneiro deve escolher, entre as opções a seguir, uma única ripa de madeira para confeccionar o losango que emoldura o tabuleiro. 

• Imbuia com 3,10 m. 
• Mogno com 2,80 m. 
• Carvalho com 2,20 m. 
• Cerejeira com 1,60 m. 
• Peroba com 0,60 m. 

Se a ripa escolhida precisa ter o menor comprimento possível, ela deve ser de

A carvalho. (RESPOSTA)
B cerejeira. 
C imbuia. 
D mogno.
E peroba. 

1. Repare no triângulo constante nos vértices superior e inferior do losango. Dividindo ele em dois e descobrindo o ângulo que o hexágono forma com a margem do losango (180 - 120)/2 = 30°, se obtém um triângulo retângulo em que se pode aplicar:
cos(30°) = (2/2)/x -> x = 1/(cos(30°)) = 1/(√(3)/2) = 2/√3 = 2√(3)/3 cm

2. Note agora os triângulos isósceles formados por uma base constante no losango e dois lados de hexágonos diferentes, os quais formam um ângulo de (180 - 120)/2 = 30° com a margem do losango. Dividindo esse triângulo isósceles em dois triângulos retângulos iguais, aplicamos:
cos(30°) = y/2 -> y = 2cos(30°) = 2√(3)/2 = √3 cm

Sabendo que existem 14 hexágonos em cada lado do losango, concluímos que existem 14 daqueles triângulos isósceles supracitados em 2 (logo, existem 14*2 = 28 daquelas bases de medida √3 cm). Além disso, existem os comprimentos constantes em 1. Logo, o comprimento de cada lado é dado por:
2√(3)/3 + 28√3 = 86√(3)/3 cm

Considerando √3 = 1,7, obtemos, para cada lado:
86*1,7/3 ≈ 48,7 cm

Portanto, o perímetro é de 48,7*4 = 194,8 cm = 1,948 m

Assim, a menor ripa que permite a construção do losango indicado, é a de 2,2 m: carvalho. Alternativa A.

Lembro q fiz essa quest tem um tempo e uma forma de resolver é por proporção ja que ele dá as medidas lineares  de comprimento e número de haxagonos (ex "11x11") e afirma no enunciado wue "um tabuleiro é semelhante ao outro".

L: tamanho da diagonal(60cm inicial)
n: numero de hexagonos por lado do losango ("11x11" na situação inicial)
a: tamanho do hexagono interno

Quanto mais hexagonos n e maior o tamanho dos hexagonos a, maior vai ter que ser o lado da ripa L.
Numericamente fica assim: L = K.n.a sendo K a constante de proporcionalidade

K=L/n.a ... pode igualar situação inicial e final. Substitui os valores.

60/11.3 = X/14.2

X=50,9. (x4) = 2,03m totais e pega o carvalho

Entendi perfeitamente, muito obrigada!!