EQUAÇÃO FUNCIONAL E CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÃO

Olá Apla2004 ,
Como não foi falado qual é o domínio e o contradomínio da função, considerarei que são reais:

[latex]\\f(x+f(y))=y+f(x)\xrightarrow[y=0]{x=0}\;f(f(0))=f(0) \\\\\left\{\begin{matrix}f(x+f(y))=y+f(x)\\ f(y+f(x))=x+f(y)\end{matrix}\right.\;\rightarrow\;\left\{\begin{matrix}f(f(x+f(y)))=f(y+f(x))\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(y+f(x))=x+f(y)\end{matrix}\right. \\\\\rightarrow\;f(f(x+f(y)))=x+f(y)\;\;\boldsymbol\;\xrightarrow{z=x+f(y)}\;f(f(z))=z, \;\forall\;z\in\mathbb{R} \\\\\rightarrow\;\left\{\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(0)=0\\ f(f(x))=x,\;\forall\;x\in\mathbb{R}\end{matrix}\right.[/latex]

Veja que como a função necessariamente tem que satisfazer f(f(x)) = x para qualquer x real, f assume todos os valores reais, de modo que a função é sobrejetora. Além disso, por essa mesma condição, podemos concluir que a função também é injetora, de modo que ela é bijetora.