classificação de função - funções

se uma função composta é bijetora, todas que a compõe tbm são?


Não. Tome g(x) = e^x  e [latex] f(x) =  \begin{cases} \ln x &, x>0 \\ 0&, x\leq 0  \end{cases} [/latex]. f(g(x)) = x , mas nem f nem g são bijetoras.


I. A função ℎ é sobrejetora.

ℎ ∘ g ∘ f : ℝ → ℝ é a função identidade (bijetora).

Tome t(x) = g(f(x)). h(t(x)) é bijetora.

Queremos mostrar que para qualquer k real, existe um c real tal que h(c) = k. Como h(t(x)) é sobrejetora, existe um p tal que h(t(p)) = k. Tome c = t(p).  Temos que para qualquer k real existe c = t(p) tal que h(c) = k. Portanto h(x) é sobrejetora.

II. Se x0 ∈ ℝ é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0, para todo x ∈ ℝ com x ≠ x0 . (esse 0 é embaixo do x)


A 2 está basicamente negando o fato de f ser injetiva.

Suponha a e b com a diferente de b tal que f(a) = f(b) = 0. (troquei x0 por a)

Como f(a) = f(b) = 0, temos g(f(a)) = g(f(b)) = g(0).

Temos h(f(g(a))) = h(f(g(b))) = h(f(g(0))).

Como a diferente de b e  ℎ ∘ g ∘ f (a) = ℎ ∘ g ∘ f (b), temos h não injetora e portanto não bijetora.


III. A equação ℎ(x) = 0 tem a solução em ℝ.


Se h(x) = 0 implica x não real, temos h não sobrejetora (contradição).