Movimento Harmônico Simples
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Movimento Harmônico Simples
por riddle Qua 19 Ago 2020, 18:08
Sobre a superfície muito lisa de uma mesa se encontra uma mola, cuja a constante é de 16 N/m. Uma das extremidades da mola está fixada na mesa e na outra está presa um bloco de 2 kg que também repousa sobre a mesa. Um outro bloco (também de 2 kg) desloca sobre a superfície com velocidade de 8 m/s e colide com o bloco preso à mola. Após a colisão os dois blocos permanecem grudados um no outro e o sistema começa a oscilar. Considerando t=0 e x=0 no instante da colisão, encontre a equação do movimento harmônico resultante.
edit: Resposta = x(t) = 2sen(2t)
edit: Resposta = x(t) = 2sen(2t)
riddle- Iniciante
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Re: Movimento Harmônico Simples
por LPavaNNN Qui 20 Ago 2020, 04:46
Conservação de movimento:
[latex]mv_0=2mv_f\\ v_f=\dfrac{v_0}{2}\\ m_f=2m [/latex]
como a posição da colisão é a posiçãod e equilíbrio (mola sem deformação), essa velocidade é a velocidade máxima do mhs.
O padrão convencional para o mhs é: posição é função cosseno, velocidade é função seno.
A função da velocidade é :
[latex]v=w.Asin(\phi+wt)[/latex]
o wA seria a frequência angular vezes a amplitude, que é justamente a velocidade, então wA=4
pra saber a amplitude, basta saber até o ponto em que a velocidade dos blocos será nula:
Por conservação de energia?
[latex]k\dfrac{A^2}{2}=2m.\dfrac{v_f^2}{2}\\A=\sqrt{\dfrac{2mv_f^2}{k}}=2\\w=2[/latex]
a função do espaço seria algo como:
[latex]x=A.cos(\phi+wt)[/latex]
O padrão geralmente aceito, considera que no ponto x=0, t=0, com a oscilação indo para x negativo, a fase inicial seria de 90º
[latex]x=2.cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)[/latex]
Como eu disse, essa é a convenção normalmente aceita, mas as funções seno e cosseno são as " mesmas " funçãos, mas defasadas. Tem como converter a função cosseno em seno com defasagem de ângulo:
[latex]cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)=cos\dfrac{\pi}{2}.cos(2t)-sin\dfrac{\pi}{2}.sin(2t)=-sin(2t)\\x=-2sin(2t)[/latex]
As duas respostas estão certas, assim como a resposta que vc deu no gabarito, assim como outra função considerando que na verdade o bloco, no instante inicial, se move para x positivo.
O enunciado não fez referência a sentido no instante inicial, não diz se inicialmente o bloco se move no eixo positivo e negativo. Então a referência à qual a solução resolve é também correta. Note que se eu tivesse adotado que inicialmente o bloco se move nos entido positivo, então o phi na função cosseno seria 270º, e a transformação em função seno seria a do gabarito.
na minha convenção:
[latex]x=2cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)=-2sin(2t)[/latex]
na convenção na qual o gabarito foi encontrado:
[latex]x=2cos(\dfrac{3\pi}{2}+2t)=2sin(2t)[/latex]
[latex]mv_0=2mv_f\\ v_f=\dfrac{v_0}{2}\\ m_f=2m [/latex]
como a posição da colisão é a posiçãod e equilíbrio (mola sem deformação), essa velocidade é a velocidade máxima do mhs.
O padrão convencional para o mhs é: posição é função cosseno, velocidade é função seno.
A função da velocidade é :
[latex]v=w.Asin(\phi+wt)[/latex]
o wA seria a frequência angular vezes a amplitude, que é justamente a velocidade, então wA=4
pra saber a amplitude, basta saber até o ponto em que a velocidade dos blocos será nula:
Por conservação de energia?
[latex]k\dfrac{A^2}{2}=2m.\dfrac{v_f^2}{2}\\A=\sqrt{\dfrac{2mv_f^2}{k}}=2\\w=2[/latex]
a função do espaço seria algo como:
[latex]x=A.cos(\phi+wt)[/latex]
O padrão geralmente aceito, considera que no ponto x=0, t=0, com a oscilação indo para x negativo, a fase inicial seria de 90º
[latex]x=2.cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)[/latex]
Como eu disse, essa é a convenção normalmente aceita, mas as funções seno e cosseno são as " mesmas " funçãos, mas defasadas. Tem como converter a função cosseno em seno com defasagem de ângulo:
[latex]cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)=cos\dfrac{\pi}{2}.cos(2t)-sin\dfrac{\pi}{2}.sin(2t)=-sin(2t)\\x=-2sin(2t)[/latex]
As duas respostas estão certas, assim como a resposta que vc deu no gabarito, assim como outra função considerando que na verdade o bloco, no instante inicial, se move para x positivo.
O enunciado não fez referência a sentido no instante inicial, não diz se inicialmente o bloco se move no eixo positivo e negativo. Então a referência à qual a solução resolve é também correta. Note que se eu tivesse adotado que inicialmente o bloco se move nos entido positivo, então o phi na função cosseno seria 270º, e a transformação em função seno seria a do gabarito.
na minha convenção:
[latex]x=2cos(\dfrac{\pi}{2}+2t)=-2sin(2t)[/latex]
na convenção na qual o gabarito foi encontrado:
[latex]x=2cos(\dfrac{3\pi}{2}+2t)=2sin(2t)[/latex]
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