UFBA – Equação do segundo grau e módulo

magnusmanrik escreveu:Saudações guerreiros! Esta questão me intrigou um pouco. Primeiramente eu não sei o que seria eixos coordenados. A questão estaria falando dos dois eixos, x e y? Como interpretar esse módulo em x (f(x) = x² – 3|x|)? Nesse caso como eu calculo o mínimo dela? Se você não for capaz de responder todas essa dúvidas, tudo bem, afinal ninguém é obrigado a saber de tudo. Mas se você não tiver tempo ou vontade, tudo bem também. Qualquer ajuda eu encaro como bem vinda. Ah... e o gabarito é um pouco duvidoso, pois vi várias versões deste. Mas o que eu coloquei foi o que está no livro do Poliedro.

Eis a questão:

UFBA – Escreva a soma dos itens corretos.
Considerando-se a função real f(x) = x² – 3|x|, é verdade que:
01. a imagem da função é [–3, +∞[.
02. a função f é bijetora, se x ∈ ]–∞, –2] e f(x) ∈ [–2, +∞[.
04. a função f é crescente, para todo x ≥ 0.
08. o gráfico da função f intercepta os eixos coordenados em três pontos.
16. para todo x ∈ {–1, 4}, tem-se f(x) = 4.
32. o gráfico da função f é:

Spoiler:

Olá magnusmanrik. Vou fazer alguns esboços no geogebra de alguns exemplos para você resolver por si só, aguarde alguns minutos que envio tudo. E sim, eixos coordenados são os eixos x e y.

Note que a função final é composta por duas partes: a função quando x<2 e quando x≥2.
Esse tipo de questão, sempre, SEMPRE, aplique a propriedade do módulo e encontre as funções para ambos os intervalos.


Na sua questão:









Os mínimos da figura são obtidos tendo em vista que são os mínimos das duas funções quadráticas obtidas, o mínimo de 1 será o mínimo da função quando x<0. O mínimo de 2 será o mínimo da função para x≥0.

Tente julgar os itens agora. Se houver alguma dúvida avise.

Ao meu ver a soma seria 08.

Quando tem o módulo, basta tratá-lo a partir da definição. Neste caso, a função será definida por sentenças devido ao módulo.

Pela definição de módulo: |x|=x, se x ≥ 0 ou |x|=-x, se x < 0.

Se x ≥ 0 tem-se f(x)=x²-3x.

Se x < 0 tem-se f(x)=x²+3x.

Com isto já é possível plotar o gráfico de f(x). Se você plotar o gráfico, você irá concluir que a proposição 32 é falsa, pois para f(±3/2)=-9/4 e não -9/2 conforme foi informado. Se precisar de ajuda para plotar é só falar.

A proposição 01 é falsa. Do gráfico, conclui-se que Im(f)={y ∈ ℝ | y ≥ -9/4}

A proposição 04 é falsa. Do gráfico, no intervalo entre 0 e 3/2, por exemplo, f(x) é decrescente.

A proposição 16 é falsa. Acho que seria x ∈ [-1,4] (não é por isso que eu estou dizendo que é falsa). De qualquer forma, a função é variável nesse intervalo.

A proposição 08 é verdadeira. Sim, são os eixos x e y. Há três pontos de intersecção, (±3,0) e (0,0).

Você pode achar os pontos de mínimo por simetria. A parábola é uma curva simétrica em relação a um eixo que passa pelo seu vértice, logo:

x'=(-3-0)/2=-3/2 e x''=(3-0)/2=3/2

Para x=3/2: f(3/2)=(3/2)²-3.(3/2)=-9/4

Para x=-3/2: f(-3/2)=(-3/2)²+3.(-3/2)=-9/4

A proposição 2 é falsa ao meu ver. Para uma função ser bijetora ela deve ser injetora e sobrejetora.

No domínio x ∈ ]–∞, –2], de fato, f(x) é injetora pois para cada valor desse domínio, sempre haverá imagens distintas tendo em vista que a proposição deixa clara a condição f(x) ∈ [–2, +∞[ .

Sobre ela ser sobrejetora basta que Im(f)=CD(f), porém a questão não informa o contradomínio de f(x). Assim, creio que não seja possível dizer se ela é sobrejetora ou não. O mesmo vale para a afirmação de ela ser bijetora.

Nota: sugiro que você baixe o Geogebra. Ele ajuda muito no estudo funções. Sugiro a versão classic 5. Acho ela bem melhor que as outras

Postei porque eu já havia digitado tudo isso daí.

Giovana Martins escreveu:

Postei porque eu já havia digitado tudo isso daí.

Quanto mais explicações melhor

magnusmanrik escreveu:Saudações guerreiros! Cara, eu amo esse fórum. Eu postei minha dúvida 00:43. Isso é MEIA-NOITE (sim, eu estou gritando em caps lock). Eu pensei que se ela fosse respondida, seria lá para 10:00 da manhã, ou até mais tarde. Mas não... ela não só foi respondida, mas como foi respondida pois duas pessoas. Isso era uma da madrugada!!! E eu pensando que estava estudando até tarde, essa hora eu já tinha ido dormir. Sim pessoal, eu durmo. Eu sei que isso pode soar estranho pra vocês, mas EU DURMO... LOL

God save the Queen... I mean Giovana Martins
God save the King... I mean Emanuel Dias.

Emanuel Dias, eu entendi sim o lance do módulo e do duplo desmembramento quanto às funções. Após sua ajude consegui analisar melhor as alternativas. Muito obrigado. Mesmo.

Giovana Martins, é verdade. A soma parece ser 08 mesmo. Após eu "analisar", quero dizer analisar sua análise (hehehe), cheguei a mesma conclusão: eu nem tenho o contradomínio de f(x), como eu poderia dizer que ela é sobrejetora? Ou mesmo bijetora – afinal para ser bijetora, primeiramente é necessário que a função seja injetora e sobrejetora, como você disse... hehehe

Ademais, a proposição 16 está escrita como eu escrevi na pergunta inical. Penso ser o que você falou mesmo, não faz muito sentido x ∈ {–1, 4}. Afinal, só dois elementos? Por que isso? Mais lógico seria um intervalo.

Só acho engraçado que as suas respostas, Giovana, são editadas e reeditadas e re, re, re... LOL. Eu faço o mesmo quando tenho que redigir minhas dúvidas, acho muita insensatez por parte do perguntador faltar com organização e estética. Ah... muito obrigado pelo esclarecimento.

Eu to acordado desde ontem, mas to tentando ficar acordado para arrumar o horário, vai ser difícil ficar acordado até a noite mas vou tentar kk.

Seus textos transmitem muita energia positiva