Medida do ângulo

Em um triângulo ABC tem-se que ABC = 45° e D é um ponto do lado BC de modo que 2.BD = CD e DAB = 15°. A medida do ângulo ACB é igual a:

A) 54°
B) 60° 
C) 72°
D) 75°
E) 90°

Sendo, DB = x e BC = 2x
Sendo, A = bÂc

Utilizando a lei dos senos:

AC/sen60º = [2x]/senA
e
AC/sen45º = [3x]/sen(A + 15)

AC.senA = 2x.sen60
AC=[2x.sen60]/senA

Para outra equação e substituindo AC:
AC.sen(A+15) = 3x.sen45
sen(A+15).[2x.sen60]/senA = 3x.sen45
sen(A+15).2sqrt(3) = 3sqrt(2).senA
senA.cos15 + sen15.cosA = [3 sqrt(2).senA]/2sqrt(3)
senA.cos15 + sen15.cosA = [sqrt(6).senA]/2

Agora quanto ao sen15 = sen(45-30); cos 15 = cos(45-30)
Sen15 = sen45.cos30 - sen30.cos45
Sen15 = sqrt(6)/4 - sqrt(2)/4


Cos15= cos45.cos30 + sen45.sen30
Cos15= sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4


Substituindo:
SenA.[sqrt(6) + sqrt(2)]/4 + CosA.[sqrt(6) - sqrt(2)]/4 = [sqrt(6).senA]/2
SenA.sqrt(6) + senA.sqrt(2) + cosA.sqrt(6) - cosA.sqrt(2) = 2.sqrt(6).senA
2sqrt(6).senA - sqrt(6).senA - sqrt(2).senA = cosA.sqrt(6) - cosA.sqrt(2)
sqrt(6).senA - sqrt(2).senA = cosA.sqrt(6) -cosA.sqrt(2)
sqrt(6).senA - sqrt(6).cosA = sqrt(2).senA - sqrt(2).cosA
sqrt(6).(senA - cosA) = sqrt(2).(senA -cosA)


Elevando os dois lados ao quadrado:
6.(1 - 2senA.cosA) = 2.(1 - 2senAcosA)
6 - 12senA.cosA = 2 - 4senAcosA
8senAcosA = 4
2senA.cosA = 1
sen(2A) = 1
sen(2A) = sen90

Portanto, 2A = 90 --> A = 45º

Sendo:
--> A o ângulo CÂD
--> D = 60º 

A + D + C = 180
45 + 60 + C = 180
C = 75°